Questão 5. Sejam f(x)=\cos (x), g(x)=\operatorname{sen}(x) e h(x)=f(x)+g(x). Encontre a derivada de ordem 31 da função h, ou seja, determine h^{(31)}(x).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\cos(x),\quad g(x)=\operatorname{sen}(x),\quad h(x)=f(x)+g(x)
e pede h^{(31)}(x).
O conteúdo aqui é a derivação de funções trigonométricas e o fato de que as derivadas de \cos e \operatorname{sen} repetem-se a cada 4 aplicações.

Passo 2

Vamos usar o ciclo de derivadas de \cos e \operatorname{sen}:
\begin{aligned} \frac{d}{dx}\cos(x)&=-\operatorname{sen}(x),\\\ \frac{d^2}{dx^2}\cos(x)&=-\cos(x),\\\ \frac{d^3}{dx^3}\cos(x)&=\operatorname{sen}(x),\\\ \frac{d^4}{dx^4}\cos(x)&=\cos(x), \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)&=\cos(x),\\\ \frac{d^2}{dx^2}\operatorname{sen}(x)&=-\operatorname{sen}(x),\\\ \frac{d^3}{dx^3}\operatorname{sen}(x)&=-\cos(x),\\\ \frac{d^4}{dx^4}\operatorname{sen}(x)&=\operatorname{sen}(x). \end{aligned}
Isso mostra que bastam ciclos de 4 para conhecer qualquer derivada de ordem n.

Passo 3

Como o ciclo tem período 4, computamos
31 \bmod 4 = 3.
Logo
h^{(31)}(x)=h^{(3)}(x).

Passo 4

Vamos calcular as três primeiras derivadas de h(x)=\cos(x)+\operatorname{sen}(x):
\begin{aligned} h'(x)&=-\operatorname{sen}(x)+\cos(x),\\\ h''(x)&=-\cos(x)-\operatorname{sen}(x),\\\ h^{(3)}(x)&=\operatorname{sen}(x)-\cos(x). \end{aligned}

Passo 5

Como h^{(31)}(x)=h^{(3)}(x), temos
h^{(31)}(x)=\operatorname{sen}(x)-\cos(x).

Resposta

h^{(31)}(x)=\operatorname{sen}(x)-\cos(x).

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