Determine os valores de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir para quais valores de a o limite lim x a h(x) existe. Estamos lidando com uma função definida por partes, que muda de expressão dependendo do valor de x . Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta em diferentes pontos, especialmente onde as definições mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função [h(x)) muda de definição. Olhando para a função:
Vemos que as mudanças ocorrem em . Então, vamos examinar esses pontos, pois são onde o limite pode não existir.

Passo 3

Vamos começar com a = 1 . Para que o limite lim x 1 h(x) exista, os limites pela esquerda e pela direita de 1 devem ser iguais.
  • Limite pela esquerda ( x 1^- ):
    Se x <= 1 , h(x) = x . Então,
lim x 1^- h(x) = lim x 1^- x = 1
  • Limite pela direita ( x 1^+ ):
    Se 1 < x <= 2 , h(x) = 2 - x^2 . Então,
lim x 1^+ h(x) = lim x 1^+ (2 - x^2) = 2 - 1 = 1
Como os dois limites laterais são iguais ( 1 ), o limite em a = 1 existe.

Passo 4

Agora, vamos analisar a = 2 . Novamente, precisamos verificar os limites pela esquerda e pela direita.
  • Limite pela esquerda ( x 2^- ):
    Se 1 < x <= 2 , h(x) = 2 - x^2 . Então,
lim x 2^- h(x) = lim x 2^- (2 - x^2) = 2 - 4 = -2
  • Limite pela direita ( x 2^+ ):
    Se x > 2 , h(x) = x - 3 . Então,
lim x 2^+ h(x) = lim x 2^+ (x - 3) = 2 - 3 = -1
Aqui, os limites laterais são diferentes ( -2 e -1 ), o que significa que o limite em a = 2 não existe.

Passo 5

Para os demais valores de a , a função h(x) é contínua dentro de cada intervalo definido. Isso significa que, para qualquer a que não seja 2 , o limite lim x a h(x) existe.

Resposta

O limite lim x a h(x) existe para todo a in R exceto quando a = 2 . Ou seja, para todos os reais a com a neq 2 .

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