Determine os valores de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os valores de a reais para os quais o limite limx a g(x) existe, onde a função g(x) é definida por partes:
g(x)= raiz[3]x, & se x <= -1 x, & se -1 < x < 2 (x-1)^2, & se x >= 2
Vamos usar conceitos de limites laterais e de funções definidas por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para um limite limx a g(x) existir, os limites quando x se aproxima de a pela esquerda ( x a^- ) e pela direita ( x a^+ ) precisam existir e ser iguais.
Nossa função g(x) muda de expressão nos pontos x = -1 e x = 2 . Em geral, para valores de a diferentes desses pontos, a função não muda de expressão quando nos aproximamos de a , então o limite existe automaticamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar os pontos críticos onde a função muda de definição: a = -1 e a = 2 .
Para a = -1 :
  • Limite pela esquerda ( x -1^- ):
    Quando x <= -1 , g(x) = raiz[3]x . Então:
limx -1^- g(x) = raiz[3]-1 = -1
  • Limite pela direita ( x -1^+ ):
    Quando -1 < x < 2 , g(x) = x . Então:
limx -1^+ g(x) = -1
Como os dois limites laterais são iguais ( -1 = -1 ), o limite limx -1 g(x) existe e é igual a -1 .
Para a = 2 :
  • Limite pela esquerda ( x 2^- ):
    Quando -1 < x < 2 , g(x) = x . Então:
limx 2^- g(x) = 2
  • Limite pela direita ( x 2^+ ):
    Quando x >= 2 , g(x) = (x - 1)^2 . Então:
limx 2^+ g(x) = (2 - 1)^2 = 1
Aqui, os limites laterais não são iguais ( 2 neq 1 ), então o limite limx 2 g(x) não existe.

Passo 4

Resumindo:
  • Para todo a real diferente de -1 e 2 , a função g(x) é contínua, então os limites existem.
  • No ponto a = -1 , os limites laterais coincidem, então o limite existe.
  • No ponto a = 2 , os limites laterais não coincidem, então o limite não existe.

Resposta

O limite limx a g(x) existe para todo a in R , exceto quando a = 2 .

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