Determine as assíntotas verticais e horizontais (caso existam):
f(x)=x^2+12 x^2-3 x-2.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=x^2+12x^2-3x-2
Conteúdo: funções racionais, assíntotas verticais (quando o denominador zera e o numerador não) e assíntotas horizontais (limites no infinito comparando graus dos polinômios).

Passo 2

Primeiro achamos as raízes do denominador para identificar pontos candidatos a assíntotas verticais.
2x^2-3x-2=0
Pela fórmula de Bhaskara,
x=3pmraiz9+164=3pm54,
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x=2 ou x=-tfrac12

Passo 3

Verificamos se em x=2 e em x=-tfrac12 o numerador também não zera:
x=2implies x^2+1=5neq0, x=-tfrac12implies x^2+1=tfrac54neq0
Como o numerador não se anula, os limites laterais de f(x) em cada ponto divergem para pminfty, caracterizando assíntotas verticais em
x=2 e x=-tfrac12

Passo 4

Para a assíntota horizontal, avaliamos o limite quando xtopminfty. Dividindo numerador e denominador por x^2,
f(x) =1 + x^-22 - 3x^-1 - 2x^-2 Longrightarrow limxtopminftyf(x)=12
Logo há uma assíntota horizontal em
y=tfrac12

Resposta

Assíntotas verticais: x=2 e x=-tfrac12.
Assíntota horizontal: y=tfrac12.

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