Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
sumn=1^infty (n+1)^2n^3(x-2)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=1^infty (n+1)^2n^3(x-2)^n
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois verificar o comportamento nos extremos do intervalo (2-R,2+R).

Passo 2

Aplicando o teste da razão, definimos
an = (n+1)^2n^3
e calculamos
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty (n+2)^2(n+1)^3(n+1)^2n^3 = limntoinfty n^3(n+2)^2(n+1)^5 =1
O teste da razão diz que a série converge se lim|an+1/an|;|x-2|<1, logo o raio de convergência é
R = 1L = 1

Passo 3

Para |x-2|<1 (ou seja xin(1,3)) a série converge absolutamente. Agora falta checar os extremos x=3 e x=1.

Passo 4

Em x=3 temos (x-2)=1, então a série vira
sumn=1^infty (n+1)^2n^3cdot1^n =sumn=1^infty(n+1)^2n^3
Como (n+1)^2n^3sim1n e sum1/n diverge, essa série também diverge.

Passo 5

Em x=1 temos (x-2)=-1, então a série fica
sumn=1^infty(-1)^n,(n+1)^2n^3
Chamando bn=(n+1)^2n^3=(1+1/n)^2/n, nota-se que bn é decrescente a partir de certo n e limntoinftybn=0. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge (condicionalmente, pois sum bn diverge).

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: [1,3)

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