Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois verificar o comportamento nos extremos do intervalo .
Passo 2
Aplicando o teste da razão, definimos
e calculamos
O teste da razão diz que a série converge se lim|an+1/an|;|x-2|<1, logo o raio de convergência é
R = 1L = 1
Passo 3
Para |x-2|<1 (ou seja xin(1,3)) a série converge absolutamente. Agora falta checar os extremos x=3 e x=1.
Como (n+1)^2n^3sim1n e sum1/n diverge, essa série também diverge.
Passo 5
Em x=1 temos (x-2)=-1, então a série fica
sumn=1^infty(-1)^n,(n+1)^2n^3
Chamando bn=(n+1)^2n^3=(1+1/n)^2/n, nota-se que bn é decrescente a partir de certo n e limntoinftybn=0. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge (condicionalmente, pois sum bn diverge).
Resposta
Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: [1,3)