Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
sumn=1^infty (2 n) !(n !)^2 x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (2n)!(n!)^2 x^n
Esse problema está dentro da matéria de séries de potências, e para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum an, o limite:
L = limn to infty | an+1an |
nos ajuda a encontrar o raio de convergência R, onde R = 1/L. Se L = 0, então R = infty, e se L = infty, então R = 0.

Passo 3

Vamos identificar an para a nossa série:
an = (2n)!(n!)^2 x^n
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = (2(n+1))!((n+1)!)^2 x^n+1 = (2n + 2)!(n+1)^2 (n!)^2 x^n+1

Passo 4

Agora, vamos formar a razão an+1an:
an+1an = (2n + 2)!(n+1)^2 (n!)^2 x^n+1 cdot (n!)^2(2n)! x^n = (2n + 2)(2n + 1)(n+1)^2 x
Simplificando:
an+1an = (2n + 2)(2n + 1)(n+1)^2 x

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (2n + 2)(2n + 1)(n+1)^2 x |
Dividindo cada termo por n^2:
L = limn to infty | 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1 x | = | 4 x |
Então, L = 4|x|.

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que L < 1:
4|x| < 1 implies |x| < 14
Então, o raio de convergência R é 14.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que |x| < 14, então o intervalo é:
-14 < x < 14
Precisamos verificar as extremidades x = -14 e x = 14 para ver se a série converge nesses pontos.

Passo 8

Testando x = 14:
sumn=1^infty (2n)!(n!)^2 (14)^n
Essa série é conhecida como a série de Taylor da função 1raiz1 - x para x = 14, que converge.
Testando x = -14:
sumn=1^infty (2n)!(n!)^2 (-14)^n
Aqui, também converge pela alternância e presença de termos decrescentes.

Resposta

O raio de convergência da série é R = 14 e o intervalo de convergência é [-14, 14].

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