Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
y=\frac{x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
y = \frac{x}{x^2 + 1}.
Para encontrar assíntotas verticais, precisamos ver onde o denominador se anula (e o numerador não anula simultaneamente). Para assíntotas horizontais, calculamos o limite de y quando x\to +\infty e x\to -\infty, comparando os graus do polinômio no numerador e no denominador.

Passo 2

Analisando o denominador x^2 + 1:
x^2 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 = -1,
não tem solução real. Logo o domínio de y é todo \mathbb{R} e não há ponto em que o denominador zere. Concluímos que não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Para achar assíntotas horizontais, usamos o fato de que, para \frac{P(x)}{Q(x)} com \deg P < \deg Q, o limite em infinito é zero:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2+1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1+1/x^2} =0,
\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2+1} =\lim_{x\to-\infty}\frac{1/x}{1+1/x^2} =0.
Portanto a reta y=0 é assíntota horizontal para ambos os lados.

Resposta

Não há assíntotas verticais.
Assíntota horizontal: y=0.

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