Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
y=\frac{3 x^{2}-3}{4-x^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função racional
y = \frac{3x^{2} - 3}{4 - x^{2}}.
O conteúdo é estudo de assimptotas de funções racionais. Vamos usar: para verticais, zeros do denominador onde o numerador não anula; para horizontais, limites em x\to\pm\infty comparando graus dos polinômios.

Passo 2

Para as assíntotas verticais, fazemos
4 - x^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pm2.
Como em x=\pm2 o numerador vale 3(\pm2)^{2}-3=12-3=9\neq0, a função diverge (vai para \pm\infty) nesses pontos. Logo há assíntotas verticais em
x = 2 \quad\text{e}\quad x = -2.

Passo 3

Para a assíntota horizontal, observamos que o grau do numerador ( 2) é igual ao do denominador ( 2). O limite em x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes líderes:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^{2}-3}{4-x^{2}} =\frac{3}{-1}=-3.
Portanto há uma assíntota horizontal em
y = -3.

Resposta

Assíntotas verticais: x = 2 e x = -2.
Assíntota horizontal: y = -3.

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