Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
y=\frac{x^{2}-1}{x(x-2)};

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais de
y = \frac{x^{2}-1}{x\,(x-2)}.
Estamos no tópico de assíntotas de funções racionais. Para encontrar as verticais, precisamos ver onde o denominador se anula sem cancelamento. Para achar a horizontal, analisamos o comportamento quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio e possíveis verticais. O denominador é
x\,(x-2)=0
quando x=0 ou x=2. A numerador x^{2}-1 fatora como
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
e não há nenhum fator comum com x ou x-2. Logo, não há cancelamentos, e ambas as raízes do denominador viram assíntotas verticais:
x=0 \quad\text{e}\quad x=2.

Passo 3

Para confirmar que nesses valores a função vai a infinito, basta ver, por exemplo,
\lim_{x\to0^+}\frac{x^{2}-1}{x\,(x-2)} = \lim_{x\to0^+}\frac{-1+o(1)}{x\,( -2+o(1))}=-\infty
e comportamento análogo em x\to0^-, x\to2^\pm. Isso garante que em x=0 e x=2 temos mesmo assíntota vertical.

Passo 4

Agora a assíntota horizontal. Como grau do numerador e do denominador são ambos 2, o limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos x^2:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x} =\frac{1}{1}=1.
Portanto a assíntota horizontal é
y=1.

Resposta

Assíntotas verticais: x=0 e x=2.
Assíntota horizontal: y=1.

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