Encontre a solução do problema de valor inicial:
.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita a
Para isso, vamos (1) obter a equação característica, (2) encontrar as raízes, (3) escrever a solução geral e (4) usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
A equação característica obtida ao substituir
é
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
logo
Portanto as raízes são
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
Passo 4
Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
Em
temos o sistema
Passo 5
Multiplicando a segunda equação por 2, obtemos
Como
, substituímos em
:
e então