Encontre a solução do problema de valor inicial:
4 \ddot{y}-8 \dot{y}+3 y=0 ; \quad y(0)=2, \dot{y}(0)=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4\ddot{y}-8\dot{y}+3y=0
sujeita a
y(0)=2,\quad \dot{y}(0)=\tfrac12.
Para isso, vamos (1) obter a equação característica, (2) encontrar as raízes, (3) escrever a solução geral e (4) usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica obtida ao substituir y(t)=e^{rt} é
4r^2 - 8r + 3 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta = (-8)^2 - 4\cdot4\cdot3 = 64 - 48 = 16,
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r = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2\cdot4} = \frac{8 \pm 4}{8}.
Portanto as raízes são
r_1 = \frac{12}{8} = \tfrac32, \quad r_2 = \frac{4}{8} = \tfrac12.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C_1 e^{\tfrac32 t} + C_2 e^{\tfrac12 t}.

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = \frac{3}{2}C_1 e^{\tfrac32 t} + \frac{1}{2}C_2 e^{\tfrac12 t}.
Em t=0 temos o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\[6pt] \tfrac{3}{2}C_1 + \tfrac{1}{2}C_2 = \tfrac12. \end{cases}]

Passo 5

Multiplicando a segunda equação por 2, obtemos
3C_1 + C_2 = 1.
Como C_2 = 2 - C_1, substituímos em 3C_1 + C_2 = 1:
3C_1 + (2 - C_1) = 1 \;\Rightarrow\; 2C_1 = -1 \;\Rightarrow\; C_1 = -\tfrac12,
e então
C_2 = 2 - \bigl(-\tfrac12\bigr) = \tfrac{5}{2}.

Resposta

y(t) = -\tfrac12\,e^{\tfrac32 t} \;+\; \tfrac{5}{2}\,e^{\tfrac12 t}.

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