Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
\ddot{y}+5 \dot{y}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}+5\dot{y}=0.
O conteúdo que vamos usar é o método das equações características: supomos uma solução da forma y(x)=e^{r x} e montamos o polinômio característico.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} na EDO, obtemos o polinômio característico
r^2 + 5r = 0.
Fatorando, temos
r(r+5)=0
logo as raízes são
r_1 = 0, \quad r_2 = -5.

Passo 3

Cada raiz real distinta r_i gera uma solução fundamental e^{r_i x}. Então as soluções fundamentais são
\;e^{0\cdot x}=1\; e \;e^{-5x}.
A combinação linear dessas soluções é a solução geral da EDO:

Resposta

y(x) = C_1 + C_2\,e^{-5x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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