Seja o campo vetorial definido por
. Determine:
Em caso positivo do item anterior, a função potencial.
Em caso positivo do item anterior, a função potencial.
Passo 1
O enunciado pede para, caso o campo seja conservativo, encontrar uma função potencial φ tal que ∂φ/∂x = e^{y} sen(x) e ∂φ/∂y = e^{y} cos(x). Vamos usar o critério de conservatividade baseado nas derivadas parciais cruzadas.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de P(x,y) = e^{y} sen(x) em relação a y usando regras de derivação de exponencial:
Calcular a derivada parcial de Q(x,y) = e^{y} cos(x) em relação a x usando regras de derivação de função trigonométrica:
Passo 3
Comparar as derivadas cruzadas: temos
e
. Como elas não coincidem, o campo não é conservativo.
Passo 4
Concluir que, por não ser conservativo, não existe função potencial φ para o campo dado.
Resposta
O campo não é conservativo, logo não existe função potencial.