Seja o campo vetorial definido por F(x, y)=(e^y sen(x), e^y cos (x)). Determine:
Em caso positivo do item anterior, a função potencial.

Passo 1

O enunciado pede para, caso o campo seja conservativo, encontrar uma função potencial φ tal que ∂φ/∂x = e^{y} sen(x) e ∂φ/∂y = e^{y} cos(x). Vamos usar o critério de conservatividade baseado nas derivadas parciais cruzadas.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de P(x,y) = e^{y} sen(x) em relação a y usando regras de derivação de exponencial:
partial Ppartial y = partialpartial yl(e^y sin(x)r) = e^y sin(x)
Calcular a derivada parcial de Q(x,y) = e^{y} cos(x) em relação a x usando regras de derivação de função trigonométrica:
partial Qpartial x = partialpartial xl(e^y cos(x)r) = -e^y sin(x)

Passo 3

Comparar as derivadas cruzadas: temos partial Ppartial y = e^y sin(x) e partial Qpartial x = -e^y sin(x). Como elas não coincidem, o campo não é conservativo.

Passo 4

Concluir que, por não ser conservativo, não existe função potencial φ para o campo dado.

Resposta

O campo não é conservativo, logo não existe função potencial.

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