Questão 13. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(n^2+12 n^2+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(n^2+12n^2+1)^n
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. O conteúdo principal aqui é teste da raiz (ou teste de Cauchy) para séries de termos positivos.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para an>=0, se
L=limntoinftyraiz[n]an,
então
  • se L<1, a série sum an converge absolutamente;
  • se L>1, diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui an=l(tfracn^2+12n^2+1r)^n, então vamos calcular raiz[n]an.

Passo 3

Temos
raiz[n]an =n^2+12n^2+1
Agora tiramos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyn^2+12n^2+1 =12

Passo 4

Como o limite da raiz L=tfrac12<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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