Determine os automorfismos internos de D4. Quantos são eles?

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os automorfismos internos de D₄, isto é, todas as aplicações φ_g(x)=g x g⁻¹ para g em D₄, e depois contar quantos resultados distintos aparecem. Vamos usar conceitos de automorfismo interno e centro do grupo.

Passo 2

O grupo diédral D₄ tem apresentação
D4=lang<= r,s mid r^4=1,;s^2=1,;srs=r^-1rang<=
Aqui r é a rotação de 90° (r⁴=1) e s é a reflexão (s²=1).

Passo 3

Um automorfismo interno de um grupo G é definido por φ_g(x)=g x g⁻¹. O conjunto de todos eles forma o subgrupo Inn(G) e vale a isomorfia
Inn(G)cong G/Z(G),
onde Z(G) é o centro de G.

Passo 4

Precisamos então encontrar o centro de D₄. Elementos centrais comutam com todos os outros. No caso de D₄ verifica-se que
Z(D4)=1,,r^2,
pois r² é o giro de 180° e comuta tanto com rotações quanto reflexões, e não há mais nenhum.

Passo 5

Como |D₄|=8 e |Z(D₄)|=2, da isomorfia Inn(D₄)≅D₄/Z(D₄) segue que
|Inn(D4)|=82=4

Passo 6

Para ver os quatro automorfismos internos distintos, basta escolher representantes de cada classe em D₄/Z(D₄). Por exemplo g∈{1,r,s,sr} geram φ₁=id, φ_r, φ_s e φ_{sr}. Esses quatro são exatamente as automorfismos internos de D₄.

Passo 7

Concluindo, há exatamente quatro automorfismos internos em D₄.

Resposta

Existem 4 automorfismos internos em D₄.

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