Determine os automorfismos internos de
. Quantos são eles?
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os automorfismos internos de D₄, isto é, todas as aplicações φ_g(x)=g x g⁻¹ para g em D₄, e depois contar quantos resultados distintos aparecem. Vamos usar conceitos de automorfismo interno e centro do grupo.
Passo 2
O grupo diédral D₄ tem apresentação
Aqui r é a rotação de 90° (r⁴=1) e s é a reflexão (s²=1).
Passo 3
Um automorfismo interno de um grupo G é definido por φ_g(x)=g x g⁻¹. O conjunto de todos eles forma o subgrupo Inn(G) e vale a isomorfia
onde Z(G) é o centro de G.
Passo 4
Precisamos então encontrar o centro de D₄. Elementos centrais comutam com todos os outros. No caso de D₄ verifica-se que
pois r² é o giro de 180° e comuta tanto com rotações quanto reflexões, e não há mais nenhum.
Passo 5
Como |D₄|=8 e |Z(D₄)|=2, da isomorfia Inn(D₄)≅D₄/Z(D₄) segue que
Passo 6
Para ver os quatro automorfismos internos distintos, basta escolher representantes de cada classe em D₄/Z(D₄). Por exemplo g∈{1,r,s,sr} geram φ₁=id, φ_r, φ_s e φ_{sr}. Esses quatro são exatamente as automorfismos internos de D₄.
Passo 7
Concluindo, há exatamente quatro automorfismos internos em D₄.
Resposta
Existem 4 automorfismos internos em D₄.