Seja G um grupo e H tais que |G|=50 e |H|=25. Decida se H triang<=<=ft G.
Se fizer sentido falar no grupo quociente G / H, descreva seus elementos.

Passo 1

Temos um grupo G de ordem |G|=50 e um subgrupo H de ordem |H|=25. O conteúdo é índice de subgrupo, normalidade e grupos quocientes, e vamos precisar usar o Teorema de Lagrange e o fato de que subgrupos de índice 2 são normais.

Passo 2

Pela Teorema de Lagrange, o índice de H em G é dado por
[G: H]=|G||H|=5025=2

Passo 3

Um resultado clássico em teoria de grupos diz que todo subgrupo de índice 2 em um grupo é normal. Logo, H é normal em G, ou seja, H\triangleleft G.

Passo 4

Como H é normal, podemos formar o grupo quociente G/H. Seus elementos são as classes laterais de H em G, e como o índice é 2 só existem duas classes:
  • a classe trivial H,
  • e a outra classe gH para qualquer g\notin H.
    Assim, G/H = {H, gH}.

Resposta

H \triangleleft G e G/H = {H, gH} com ordem 2, isomorfo a C₂.

Exercícios relacionados