Seja
um grupo e
tais que
e
. Decida se
.
Se fizer sentido falar no grupo quociente
, descreva seus elementos.
Passo 1
Temos um grupo G de ordem |G|=50 e um subgrupo H de ordem |H|=25. O conteúdo é índice de subgrupo, normalidade e grupos quocientes, e vamos precisar usar o Teorema de Lagrange e o fato de que subgrupos de índice 2 são normais.
Passo 2
Pela Teorema de Lagrange, o índice de H em G é dado por
Passo 3
Um resultado clássico em teoria de grupos diz que todo subgrupo de índice 2 em um grupo é normal. Logo, H é normal em G, ou seja, H\triangleleft G.
Passo 4
Como H é normal, podemos formar o grupo quociente G/H. Seus elementos são as classes laterais de H em G, e como o índice é 2 só existem duas classes:
- a classe trivial H,
- e a outra classe gH para qualquer g\notin H.
Assim, G/H = {H, gH}.
Resposta
H \triangleleft G e G/H = {H, gH} com ordem 2, isomorfo a C₂.