Determine os autovalores e os autoespaços correspondentes. Caso exista, construa uma base formada por autovetores.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e os autoespaços de
Como
B é simétrica, seus autovalores são reais e admite base ortonormal de autovetores. Vamos notar também sua possível idempotência para determinar logo de início que os únicos autovalores são 0 e 1.
Passo 2
Calculamos
B^2 . Por exemplo, o elemento
(1,2) de
B^2 é
que coincide com
B12 . De modo análogo para todas as entradas, conclui-se que
Uma matriz simétrica e idempotente só pode ter autovalores 0 ou 1. Como
tr(B)=0,75cdot4=3 e a soma dos autovalores é a traça, sejam as multiplicidades
Passo 3
Autovetores para
lambda=1 resolvem
(B-I)v=0 . Três vetores linearmente independentes são:
De fato, por exemplo
e similarmente para
v1,v3 . Logo o autoespaço de
lambda=1 é
Passo 4
Autovetores para
lambda=0 resolvem
Bv=0 . Um vetor não-nulo nessa condição é
pois
Logo
Resposta
Autovalores e bases de autovetores: