Determine os autovalores e os autoespaços correspondentes. Caso exista, construa uma base formada por autovetores.
B=(rrrr 75 & -25 & -25 & 25 -25 & 75 & -25 & 25 -25 & -25 & 75 & 25 25 & 25 & 25 & 75 )

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e os autoespaços de
B= 0,75 & -0,25 & -0,25 & 0,25 -0,25 & 0,75 & -0,25 & 0,25 -0,25 & -0,25 & 0,75 & 0,25 0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,75
Como B é simétrica, seus autovalores são reais e admite base ortonormal de autovetores. Vamos notar também sua possível idempotência para determinar logo de início que os únicos autovalores são 0 e 1.

Passo 2

Calculamos B^2. Por exemplo, o elemento (1,2) de B^2 é
(B^2)12=sumk=1^4B1kBk2 =0,75cdot(-0,25)+(-0,25)cdot0,75+(-0,25)cdot(-0,25)+0,25cdot0,25=-0,25,
que coincide com B12. De modo análogo para todas as entradas, conclui-se que
B^2=B
Uma matriz simétrica e idempotente só pode ter autovalores 0 ou 1. Como
tr(B)=0,75cdot4=3 e a soma dos autovalores é a traça, sejam as multiplicidades
lambda=1 com mu< m1, lambda=0 com mu< m0,
m1+m0=4, 1cdot m1+0cdot m0=3;Longrightarrow;m1=3,;m0=1

Passo 3

Autovetores para lambda=1 resolvem (B-I)v=0. Três vetores linearmente independentes são:
v1=1113,; v2=1-100,; v3=10-10
De fato, por exemplo
Bv2= 0,75cdot1-0,25cdot(-1)-0,25cdot0+0,25cdot0 cdots =1-100=v2,
e similarmente para v1,v3. Logo o autoespaço de lambda=1 é
E1=spanv1,v2,v3,dim E1=3

Passo 4

Autovetores para lambda=0 resolvem Bv=0. Um vetor não-nulo nessa condição é
v4=111-1,
pois
Bv4=(0,75-0,25-0,25-0,25,;dots)= (0,0,0,0)^T
Logo
E0=spanv4,dim E0=1

Resposta

Autovalores e bases de autovetores:
lambda=1, base de E1:;(1,1,1,3)^T,,(1,-1,0,0)^T,,(1,0,-1,0)^T,
lambda=0, base de E0:;(1,1,1,-1)^T

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