Determine os autovalores e os autoespaços correspondentes. Caso exista, construa uma base formada por autovetores.
A=(rrrr 75 & 25 & -25 & 25 25 & 75 & 25 & -25 -25 & 25 & 75 & 25 25 & -25 & 25 & 75 )

Passo 1

O enunciado pede os autovalores de Ain R^4times4 e os autoespaços correspondentes, além de exibir uma base de autovetores se existir. Para resolver, usaremos propriedades de matrizes simétricas (autovalores reais e autovetores ortogonais) e procuraremos vetores de padrão de sinais que diagonalizem A.

Passo 2

Observamos que A é simétrica, portanto diagonalizável com autovalores reais e autovetores mutuamente ortogonais. Note também que a soma das entradas de cada linha de A é igual a 1. Assim
v1 = 1111
satisfaz
A,v1 = 75 & 25 & -25 & 25 25 & 75 & 25 & -25 -25 & 25 & 75 & 25 25 & -25 & 25 & 75 1111 =1111 =1cdot v1,
logo lambda=1 é autovalor com autovetor v1.

Passo 3

Procuramos outro vetor de padrão (+,+,-,-):
v2 = 11-1-1
Um cálculo similar mostra
A,v2 = 11-1-1 =1cdot v2,
ou seja, v2 também tem autovalor lambda=1. Portanto a multiplicidade geométrica de lambda=1 é pelo menos 2.

Passo 4

Tentamos agora um vetor de padrão (+,-,+,-):
v3 = 1-11-1
Calcula-se
A,v3 = 0000 =0cdot v3,
logo lambda=0 é autovalor, com autoespaço gerado por v3.

Passo 5

Falta um quarto autovetor ortogonal a v1,v2,v3. Tomamos
v4 = 1-1-11,
e verifica-se
A,v4 = 1-1-11 =1cdot v4
Assim obtivemos quatro autovetores linearmente independentes, confirmando que A é diagonalizável. Os autovalores são
lambda=1 (mu<iplicidade 3), lambda=0 (mu<iplicidade 1),
com autoespaços
E1=spanv1,v2,v4, E0=spanv3

Resposta

Autovalores:
lambda1=1(mu< 3), lambda2=0(mu< 1)
Bases de autovetores:
E1: l,1111,; 11-1-1,; 1-1-11r, E0: l,1-11-1r

Exercícios relacionados