Determine os autovalores, autoespaços e as multiplicidades algébrica e geométria de cc2 & 3 3 & -6

Passo 1

Resumo: Queremos achar os autovalores, autoespaços e as multiplicidades algébrica e geométrica da matriz
A=2 & 33 & -6
O tema é teoria de autovalores e autovetores, e precisaremos usar o polinômio característico e resolver sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

O polinômio característico é dado por det(A - lambda I). Vamos calcular
det2-lambda & 33 & -6-lambda

Passo 3

Expandindo o determinante temos
(2 - lambda)(-6 - lambda) - 3 cdot 3 = (2-lambda)(-6-lambda) - 9
Desenvolvendo o produto:
(2-lambda)(-6-lambda) = lambda^2 + 4lambda - 12,
e então
det(A - lambda I) = lambda^2 + 4lambda - 12 - 9 = lambda^2 + 4lambda - 21

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos lambda^2 + 4lambda - 21 = 0. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot(-21)2 = -4 pm raiz1002 = -4 pm 102
Isso dá lambda1 = 3 e lambda2 = -7. Ambos aparecem apenas uma vez na equação, então cada um tem multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Agora encontramos os autoespaços resolvendo (A - lambda I)x = 0 para cada valor de lambda.
Para lambda1 = 3 temos
A - 3I = 2-3 & 33 & -6-3 = -1 & 33 & -9
Isso leva ao sistema
- x + 3y = 0,
o que implica x = 3y. Escolhendo y = 1, um vetor próprio é 31. Então o autoespaço é Span(3,1) e sua multiplicidade geométrica é 1.

Passo 6

Para lambda2 = -7 temos
A + 7I = 2+7 & 33 & -6+7 = 9 & 33 & 1
O sistema
9x + 3y = 0
implica y = -3x. Tomando x = 1, obtemos o vetor próprio 1-3. Logo o autoespaço é Span(1,-3) e a multiplicidade geométrica é 1.

Resposta

Os autovalores são lambda1 = 3 e lambda2 = -7, cada um com multiplicidade algébrica 1. Os respectivos autoespaços são Span(3,1) e Span(1,-3), cada um com multiplicidade geométrica 1.

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