Determine os autovalores, autoespaços e as multiplicidades algébrica e geométria de
Passo 1
Resumo: Queremos achar os autovalores, autoespaços e as multiplicidades algébrica e geométrica da matriz
O tema é teoria de autovalores e autovetores, e precisaremos usar o polinômio característico e resolver sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
O polinômio característico é dado por
. Vamos calcular
Passo 3
Expandindo o determinante temos
Desenvolvendo o produto:
e então
Passo 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos
. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isso dá
e
. Ambos aparecem apenas uma vez na equação, então cada um tem multiplicidade algébrica 1.
Passo 5
Agora encontramos os autoespaços resolvendo
para cada valor de
.
Para temos
Para
Isso leva ao sistema
o que implica
. Escolhendo
, um vetor próprio é
. Então o autoespaço é
e sua multiplicidade geométrica é 1.
Passo 6
Para
temos
O sistema
implica
. Tomando
, obtemos o vetor próprio
. Logo o autoespaço é
e a multiplicidade geométrica é 1.
Resposta
Os autovalores são
e
, cada um com multiplicidade algébrica 1. Os respectivos autoespaços são
e
, cada um com multiplicidade geométrica 1.