Seja dado por .
a Determine a forma de Jordan de .
b Para , encontre uma base de tal que .
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar o operador linear definido por . Primeiro vamos achar a forma de Jordan de (parte a) e, depois, para o caso , precisamos exibir uma base que leva a matriz de exatamente àquela forma de Jordan (parte b).
Passo 2
A ideia central é notar que é um operador de “passo” (shift), e que é precisamente o operador de diferença finita . Sabemos da teoria de diferenças finitas que aplicando em um polinômio de grau repetidamente vezes dá zero, mas menos que isso não. Logo,
mas para todo . Isso mostra que o polinômio mínimo de é
e a única raiz é com multiplicidade . Como o espaço tem dimensão , a forma de Jordan de é um único bloco de tamanho associado ao autovalor :
Passo 3
Para fazer a parte (b) com n=4, vamos construir uma base formada pelos polinômios de Newton (polinômios binomiais)
pk(x)=binomxk=x(x-1)cdots(x-k+1)k!,
para k=0,1,2,3,4. Uma propriedade chave é
Tl(pk(x)r)=pk(x+1)=pk(x)+pk-1(x)
Na base ordenada como
B=(p4,p3,p2,p1,p0),
essa relação faz com que a matriz de T tenha entrada 1 na diagonal principal e entrada 1 logo acima dela, isto é, exatamente o bloco de Jordan J5(1)
Passo 4
Portanto, a resposta final é: para todo n a forma de Jordan de T é um bloco de tamanho n+1 com autovalor 1, e para n=4 a base que leva [T] àquele bloco é
B=lbinomx4,;binomx3,;binomx2,;binomx1,;binomx0r
Resposta
a) A forma de Jordan de T é um único bloco Jn+1(1) de tamanho n+1 com autovalor 1.
b) Para n=4, a base
B=lbinomx4,,binomx3,,binomx2,,binomx1,,binomx0r
faz com que [T] B^ B=J5(1), um bloco de Jordan de tamanho 5 com 1 nas diagonais e 1 na superdiagonal.