Seja T: Pn(R) Pn(R) dado por T(p(x))=p(x+1).
a Determine a forma de Jordan de T.
b Para n=4, encontre uma base B de P4(R) tal que [T]B^B=J.

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar o operador linear T: Pn( R)to Pn( R) definido por T(p(x))=p(x+1). Primeiro vamos achar a forma de Jordan de T (parte a) e, depois, para o caso n=4, precisamos exibir uma base B que leva a matriz de T exatamente àquela forma de Jordan (parte b).

Passo 2

A ideia central é notar que T é um operador de “passo” (shift), e que T-I é precisamente o operador de diferença finita De. Sabemos da teoria de diferenças finitas que aplicando De em um polinômio de grau n repetidamente n+1 vezes dá zero, mas menos que isso não. Logo,
(T-I)^n+1=0
mas (T-I)^kneq0 para todo k<= n. Isso mostra que o polinômio mínimo de T é
mT(lambda)=(lambda-1)^n+1,
e a única raiz é 1 com multiplicidade n+1. Como o espaço tem dimensão n+1, a forma de Jordan de T é um único bloco de tamanho n+1 associado ao autovalor 1:
J=Jn+1(1)= 1&1&0&cdots&0 0&1&1&cdots&0 vdots&ddots&ddots&ddots&vdots 0&cdots&0&1&1 0&cdots& &0&1

Passo 3

Para fazer a parte (b) com n=4, vamos construir uma base formada pelos polinômios de Newton (polinômios binomiais)
pk(x)=binomxk=x(x-1)cdots(x-k+1)k!,
para k=0,1,2,3,4. Uma propriedade chave é
Tl(pk(x)r)=pk(x+1)=pk(x)+pk-1(x)
Na base ordenada como
B=(p4,p3,p2,p1,p0),
essa relação faz com que a matriz de T tenha entrada 1 na diagonal principal e entrada 1 logo acima dela, isto é, exatamente o bloco de Jordan J5(1)

Passo 4

Portanto, a resposta final é: para todo n a forma de Jordan de T é um bloco de tamanho n+1 com autovalor 1, e para n=4 a base que leva [T] àquele bloco é
B=lbinomx4,;binomx3,;binomx2,;binomx1,;binomx0r

Resposta

a) A forma de Jordan de T é um único bloco Jn+1(1) de tamanho n+1 com autovalor 1.
b) Para n=4, a base
B=lbinomx4,,binomx3,,binomx2,,binomx1,,binomx0r
faz com que [T] B^ B=J5(1), um bloco de Jordan de tamanho 5 com 1 nas diagonais e 1 na superdiagonal.

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