Determine os autovalores e os autovetores (L.I.) correspondentes para as matrizes abaixo, e, em cada caso, determine as dimensões dos autoespaços correspondentes aos autovalores.
\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -1 \\\\ 2 & 5 & -2 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1\\\\ 2 & 5 & -2\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e, para cada autovalor, a dimensão do autoespaço (geometria do multiplicador). O conteúdo aqui é característico de matrizes quadradas: vamos calcular o polinômio característico, encontrar as raízes (autovalores) e, em seguida, determinar as bases dos respectivos núcleos de A-\lambda I.

Passo 2

Montamos A - \lambda I e o determinante para achar o polinômio característico:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 & -1\\\\ 2 & 5-\lambda & -2\\\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Então
\det(A-\lambda I) = (4-\lambda)\bigl((5-\lambda)(2-\lambda)+2\bigr) -1\bigl(2(2-\lambda)+2\bigr) -1\bigl(2- (5-\lambda)\bigr).
Fazendo as contas completas, chega-se a
\det(A-\lambda I) = \lambda^3 - 11\lambda^2 + 39\lambda - 45.

Passo 3

Agora resolvemos
\lambda^3 - 11\lambda^2 + 39\lambda - 45 = 0.
Testando raízes inteiras ( \pm1,\pm3,\pm5,\dots) obtemos \lambda=3. Fazendo a divisão polinomial por (\lambda-3) resulta em \lambda^2 -8\lambda +15, cujas raízes são
\lambda = \frac{8\pm\sqrt{64 -60}}{2} = \frac{8\pm2}{2} \;\Longrightarrow\; \lambda=5\quad\text{ou}\quad\lambda=3.
Portanto os autovalores são
\lambda_1 = 5\quad(\text{mult. alg. }1), \quad \lambda_2 = 3\quad(\text{mult. alg. }2).

Passo 4

Para \lambda=5\) calculamos o núcleo de \(A-5I\): \[A-5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
O sistema é
\begin{cases} -x + y - z = 0,\\\\ 2x - 2z =0,\\\ x + y -3z =0. \end{cases}
Dessas equações vem x=z\] e \(y=2z. Logo
v = (x,y,z) = z\,(1,2,1),
e o autoespaço é gerado por \{(1,2,1)\}. A dimensão desse autoespaço é 1.

Passo 5

Para \lambda=3 temos
A-3I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 2 & -2\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix},
e o sistema reduz a
x + y - z =0,
com duas variáveis livres ( x e y). Assim
z = x + y,
e um vetor genérico do núcleo é
(x,y,x+y) = x\,(1,0,1) + y\,(0,1,1).
Uma base do autoespaço é \{(1,0,1),\,(0,1,1)\}. A dimensão desse autoespaço é 2.

Resposta

  • Autovalor \lambda=5: autovetor (até constante) (1,2,1), dimensão do autoespaço 1.
  • Autovalor \lambda=3: autovetores (até constantes) (1,0,1) e (0,1,1), dimensão do autoespaço 2.

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