Determine os autovalores e os autovetores (L.I.) correspondentes para as matrizes abaixo, e, em cada caso, determine as dimensões dos autoespaços correspondentes aos autovalores.
\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede os autovalores, vetores próprios e as dimensões dos autoespaços. Vamos usar o polinômio característico \det(A-\lambda I) e depois resolver sistemas lineares (A-\lambda I)x=0.

Passo 2

Como A é triangular por blocos, seu determinante se separa em
\det(A-\lambda I)=\det\bigl(B-\lambda I\bigr)\,\bigl(1-\lambda\bigr),
onde
B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Logo, há de antemão um fator 1-\lambda vindo da última linha e coluna.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de B:
\det(B-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 2\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 0 & 1 & -2-\lambda \end{pmatrix} =\lambda^3+2\lambda^2-\lambda-2.
Fatorando,
\lambda^3+2\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda+2).

Passo 4

Portanto os autovalores de A são
\lambda=-2,\quad \lambda=-1,\quad \lambda=1
sendo que \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2 (uma vez em B e outra vez em 1-\lambda) e \lambda=-2,-1 têm multiplicidade 1 cada.

Passo 5

Para \lambda=-2 resolvemos (A+2I)x=0. Da quarta linha vem 3x_4=0\implies x_4=0. Nas três primeiras linhas (bloco B+2I) obtemos
2x_1+2x_3=0,\quad x_1+2x_2+x_3=0,\quad x_2=0,
que leva a x_2=0,\;x_1=-x_3. Tomando x_3=t, um autovetor é
v_{-2}=(-1,0,1,0).
O autoespaço tem dimensão 1.

Passo 6

Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)x=0. Da quarta linha vem 2x_4=0\implies x_4=0. No bloco B+I:
x_1+2x_3=0,\quad x_1+x_2+x_3=0,\quad x_2-x_3=0,
resultando em x_2=x_3 e x_1=-2x_3. Tomando x_3=t, um autovetor é
v_{-1}=(-2,1,1,0).
O autoespaço tem dimensão 1.

Passo 7

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)x=0. Agora a quarta linha dá 0\cdot x_4=0, então x_4 é livre; do bloco B-I:
-\,x_1+2x_3=0,\quad x_1-x_2+x_3=0,\quad x_2-3x_3=0,
que leva a x_1=2x_3,\;x_2=3x_3. Tomamos dois parâmetros: t para x_3 e s para x_4. Dois vetores independentes são
v_{1}^{(1)}=(2,3,1,0),\quad v_{1}^{(2)}=(0,0,0,1).
O autoespaço de \lambda=1 tem dimensão 2.

Resposta

Autovalores e vetores próprios (LI) e dimensões dos autoespaços:
\lambda=-2: vetor próprio (-1,0,1,0), dimensão 1
\lambda=-1: vetor próprio (-2,1,1,0), dimensão 1
\lambda=1: vetores próprios (2,3,1,0) e (0,0,0,1), dimensão 2

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