Determine os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
a) [ccraiz3 & -1 1 & raiz3],
b) [cc1 & 2 0 & -1],
c) [ccc3 & -3 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1],
d) [ccc1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1].

Passo 1

O enunciado pede para cada matriz A encontrar os autovalores lambda (soluções de det(A-lambda I)=0) e, para cada lambda, os autovetores não nulos v que satisfazem
(A-lambda I)v=0
Os conteúdos envolvidos são: cálculo do polinômio característico de matrizes (determinante de A-lambda I) e resolução de sistemas lineares homogêneos para obter as direções dos autovetores.

Passo 2

Para
A=raiz3&-11&raiz3
calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I) =detraiz3-lambda&-11&raiz3-lambda =(raiz3-lambda)^2+1 =lambda^2-2raiz3,lambda+4
As raízes são
lambda=2raiz3pmraiz12-162 =raiz3pm i
Para lambda1=raiz3+i, resolvemos
raiz3-(raiz3+i)&-11&raiz3-(raiz3+i) v =-i&-11&-iv=0
Uma solução é v1=(1,,-i)^T. Analogamente, para lambda2=raiz3-i, obtemos v2=(1,,i)^T.

Passo 3

Para
B=1&20&-1
o polinômio característico é
det(B-lambda I) =(1-lambda)(-1-lambda) =(lambda-1)(lambda+1)
Logo lambda=1 ou lambda=-1.
Para lambda=1:
(B-I)v =0&20&-2v=0 ;Longrightarrow;2v2=0,;v1 livre
escolhemos v=(1,0)^T.
Para lambda=-1:
(B+I)v =2&20&0v=0 ;Longrightarrow;2v1+2v2=0;Rightarrow;v1=-v2,
escolhemos v=(-1,1)^T.

Passo 4

Para
que é triangular, os autovalores são as entradas da diagonal: [\lambda_{1}=3) (multiplicidade ) e .
Para :
então um autovetor é (espaço próprio unidimensional, sistema defectivo).
Para :
Da segunda equação .
Escolhendo .

Passo 5

Para
D=1&3&-30&4&0-3&3&1
o polinômio característico é
det(D-lambda I) =(4-lambda)det1-lambda&-3-3&1-lambda =(4-lambda)l((1-lambda)^2-9r) =(4-lambda)(lambda+2)(lambda-4)
Logo os autovalores são lambda=4 (multiplicidade 2) e lambda=-2.
Para lambda=4:
(D-4I)v =-3&3&-30&0&0-3&3&-3v=0 ;Longrightarrow;-3v1+3v2-3v3=0 ;Leftrightarrow;v1-v2+v3=0
Duas variáveis livres geram a base do espaço próprio: por exemplo
(1,1,0)^T e (-1,0,1)^T.
Para lambda=-2:
(D+2I)v =3&3&-30&6&0-3&3&3v=0 ;Longrightarrow; 6v2=0,;3v1-3v3=0 ;Rightarrow;v2=0,;v1=v3
Um autovetor é v=(1,0,1)^T.

Resposta

a) Autovalores lambda=raiz3pm i, com autovetores v=(1,-i)^T e v=(1,i)^T.
b) lambda=1 com v=(1,0)^T; lambda=-1 com v=(-1,1)^T.
c) lambda=3 (mult., 2) com v=(1,0,0)^T; lambda=-1 com v=(1,-20,16)^T.
d) lambda=4 (mult., 2) com espaço próprio gerado por (1,1,0)^T e (-1,0,1)^T; lambda=-2 com v=(1,0,1)^T.

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