Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear dada por T(x, y)=(-3 x+4 y,-x+2 y) cuja matriz em relação à base canônica beta é [T]beta^beta=[cc-3 & 4 -1 & 2]. Existe uma base de autovalores de T para o R^2 ? Se afirmativo, exiba-a e dê a matriz de representação de T nessa base de autovalores encontrada.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear TcolonR^2toR^2 dada por
T(x,y)=(-3x+4y,,-x+2y)
cuja matriz na base canônica beta é
A = [T]beta^beta = -3 & 4 -1 & 2
O conteúdo aqui é autovalores, autovetores e diagonalização.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Temos
det(A - lambda I) = det! -3-lambda & 4 -1 & 2-lambda =(-3-lambda)(2-lambda)-4(-1)
Expandindo,
(-3-lambda)(2-lambda)=lambda^2+lambda-6 e, somando 4,; chi(lambda)=lambda^2+lambda-2

Passo 3

Resolvendo chi(lambda)=0:
lambda^2+lambda-2=0 Longrightarrow lambda=-1pmraiz1+82 =-1pm32,
logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=-2

Passo 4

Para , resolvemos :
Um autovetor corresponde é

Passo 5

Para , resolvemos :
Um autovetor pode ser escolhido como

Passo 6

Como lambda1neqlambda2, os autovetores v1 e v2 são linearmente independentes e formam uma base de R^2. Nessa base de autovalores
B=(v1,v2), a matriz de T fica diagonal com as entradas lambda1 e lambda2:
[T]B^B = 1 & 0 0 & -2

Resposta

Sim. Uma base de autovalores é
B=l,(1,1),,(4,1)r,
e, nesta base, a matriz de T é
1 & 0 0 & -2

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