Seja uma transformação linear dada por cuja matriz em relação à base canônica é . Existe uma base de autovalores de T para o R^2 ? Se afirmativo, exiba-a e dê a matriz de representação de T nessa base de autovalores encontrada.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear TcolonR^2toR^2 dada por
T(x,y)=(-3x+4y,,-x+2y)
cuja matriz na base canônica beta é
A = [T]beta^beta = -3 & 4 -1 & 2
O conteúdo aqui é autovalores, autovetores e diagonalização.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de A. Temos
Como lambda1neqlambda2, os autovetores v1 e v2 são linearmente independentes e formam uma base de R^2. Nessa base de autovalores B=(v1,v2), a matriz de T fica diagonal com as entradas lambda1 e lambda2: