Verificar que as transformações definidas abaixo são transformações lineares de R^2 em R^3. Determinar para cada uma delas a imagem Im(T), o núcleo N u c(T), a dimIm(T) e a dimNuc(T).
a) T(x, y)=(x+y, x-y, y)
b) T(x, y)=(x-y, y-x,-x)
c) T(x, y)=(2 x, 2 y, 0.

Passo 1

O enunciado pede para cada transformação
definida em (a), (b) e (c) verificar que é linear e determinar
  • a imagem ,
  • o núcleo ,
  • e
  • .
Vamos usar a representação matricial de nas bases canônicas de e , pois as colunas da matriz de são exatamente e . Em seguida calculamos posto (dimensão da imagem) como o número de colunas linearmente independentes e núcleo resolvendo .

Passo 2

Caso (a):
Matriz na base canônica:
com colunas
que dá , então
O núcleo vem de
que implica (x=y=0]. Assim

Passo 3

Caso (b):
Matriz na base canônica:
com colunas
logo . Portanto
O núcleo vem de
que dá (x=y=0]. Assim

Passo 4

Caso (c):
Matriz na base canônica:
com colunas e . Essas colunas são claramente independentes, logo . Assim
O núcleo vem de
logo

Resposta

(a) , , , .
(b) , , , .
(c) , , , .

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