Verificar que as transformações definidas abaixo são transformações lineares de em . Determinar para cada uma delas a imagem , o núcleo , a e a .
a)
b)
c) .
Passo 1
O enunciado pede para cada transformação
definida em (a), (b) e (c) verificar que é linear e determinar
a imagem ,
o núcleo ,
e
.
Vamos usar a representação matricial de nas bases canônicas de e , pois as colunas da matriz de são exatamente e . Em seguida calculamos posto (dimensão da imagem) como o número de colunas linearmente independentes e núcleo resolvendo .
Passo 2
Caso (a):
Matriz na base canônica:
com colunas
que dá , então
O núcleo vem de
que implica (x=y=0]. Assim
Passo 3
Caso (b):
Matriz na base canônica:
com colunas
logo . Portanto
O núcleo vem de
que dá (x=y=0]. Assim
Passo 4
Caso (c):
Matriz na base canônica:
com colunas e . Essas colunas são claramente independentes, logo . Assim