Determine os autovalores e os autovetores da matriz A=(lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0) e de sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A e da sua inversa A^-1 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes, autovalores e autovetores. Precisaremos calcular determinantes, resolver equações características e entender como os autovalores e autovetores se comportam em matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz A , um autovalor lambda e um autovetor v satisfazem a equação:
Av = lambda v
Isso significa que, ao aplicar a matriz A no vetor v , o resultado é apenas o vetor v escalado por lambda .

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A , e det representa o determinante. Vamos montar essa equação para a matriz A .

Passo 4

A matriz A é:
A = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
A matriz identidade I de ordem 3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então, A - lambda I fica:
A - lambda I = -lambda & 0 & 1 0 & 1 - lambda & 0 1 & 0 & -lambda

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de A - lambda I :
det(A - lambda I) = (-lambda) cdot det 1 - lambda & 0 0 & -lambda - 0 + 1 cdot det 0 & 1 - lambda 1 & 0
Calculando os determinantes menores:
det 1 - lambda & 0 0 & -lambda = (1 - lambda)(-lambda) = -lambda (1 - lambda)
det 0 & 1 - lambda 1 & 0 = - (1)(1 - lambda) = - (1 - lambda)
Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (-lambda)(- lambda (1 - lambda)) + 1 (- (1 - lambda)) = lambda^2 (1 - lambda) - (1 - lambda)
Fatorando (1 - lambda) :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 1) = (1 - lambda)(lambda - 1)(lambda + 1) = - (1 - lambda)^2 (lambda + 1)

Passo 6

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
- (1 - lambda)^2 (lambda + 1) = 0
Isso nos dá as soluções:
(1 - lambda)^2 = 0 ou lambda + 1 = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda = 1 (com mu<iplicidade 2), lambda = -1

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começaremos com lambda = 1 .
Para lambda = 1 , resolvemos (A - I)v = 0 :
A - I = -1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1
Isso nos dá o sistema:
- v1 + v3 = 0 0 = 0 v1 - v3 = 0
Das quais, podemos ver que v1 = v3 e v2 é livre. Então, os autovetores para lambda = 1 são da forma:
v = t s t = t 1 0 1 + s 0 1 0
Onde t e s são números reais.

Passo 8

Agora, para lambda = -1 , resolvemos (A + I)v = 0 :
A + I = 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 1 & 0 & 1
Isso nos dá o sistema:
v1 + v3 = 0 2 v2 = 0 v1 + v3 = 0
Das quais, temos v1 = -v3 e v2 = 0 . Então, os autovetores para lambda = -1 são da forma:
v = t 0 -t = t 1 0 -1
Onde t é um número real.

Passo 9

Agora que temos os autovalores e autovetores de A , vamos encontrar os de A^-1 . Sabemos que se lambda é um autovalor de A , então 1lambda é um autovalor de A^-1 .
Então, os autovalores de A^-1 são:
lambda' = 11 = 1 (com mu<iplicidade 2), lambda' = 1-1 = -1
Note que os mesmos valores aparecem, o que ocorre porque A é similar a sua inversa.
Os autovetores de A^-1 são os mesmos de A , já que os autovetores não mudam quando passamos para a matriz inversa, apenas os autovalores são invertidos.

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda = 1 (com multiplicidade 2) e lambda = -1 , com os respectivos autovetores:
  • Para lambda = 1 :
v = t 1 0 1 + s 0 1 0 , t, s in R
  • Para lambda = -1 :
v = t 1 0 -1 , t in R
Os autovalores da matriz A^-1 são os mesmos lambda' = 1 (com multiplicidade 2) e lambda' = -1 , e os autovetores correspondem aos autovetores de A .

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