Determine os autovalores e os autovetores da matriz e de sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A e da sua inversa A^-1 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes, autovalores e autovetores. Precisaremos calcular determinantes, resolver equações características e entender como os autovalores e autovetores se comportam em matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz A , um autovalor lambda e um autovetor v satisfazem a equação:
Av = lambda v
Isso significa que, ao aplicar a matriz A no vetor v , o resultado é apenas o vetor v escalado por lambda .
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A , e det representa o determinante. Vamos montar essa equação para a matriz A .
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
- (1 - lambda)^2 (lambda + 1) = 0
Isso nos dá as soluções:
(1 - lambda)^2 = 0 ou lambda + 1 = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda = 1 (com mu<iplicidade 2), lambda = -1
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começaremos com lambda = 1 .
Para lambda = 1 , resolvemos (A - I)v = 0 :
A - I = -1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1
Isso nos dá o sistema:
- v1 + v3 = 0 0 = 0 v1 - v3 = 0
Das quais, podemos ver que v1 = v3 e v2 é livre. Então, os autovetores para lambda = 1 são da forma:
v = t s t = t 1 0 1 + s 0 1 0
Onde t e s são números reais.
Passo 8
Agora, para lambda = -1 , resolvemos (A + I)v = 0 :
A + I = 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 1 & 0 & 1
Isso nos dá o sistema:
v1 + v3 = 0 2 v2 = 0 v1 + v3 = 0
Das quais, temos v1 = -v3 e v2 = 0 . Então, os autovetores para lambda = -1 são da forma:
v = t 0 -t = t 1 0 -1
Onde t é um número real.
Passo 9
Agora que temos os autovalores e autovetores de A , vamos encontrar os de A^-1 . Sabemos que se lambda é um autovalor de A , então 1lambda é um autovalor de A^-1 .
Note que os mesmos valores aparecem, o que ocorre porque A é similar a sua inversa.
Os autovetores de A^-1 são os mesmos de A , já que os autovetores não mudam quando passamos para a matriz inversa, apenas os autovalores são invertidos.
Resposta
Os autovalores da matriz A são lambda = 1 (com multiplicidade 2) e lambda = -1 , com os respectivos autovetores:
Para lambda = 1 :
v = t 1 0 1 + s 0 1 0 , t, s in R
Para lambda = -1 :
v = t 1 0 -1 , t in R
Os autovalores da matriz A^-1 são os mesmos lambda' = 1 (com multiplicidade 2) e lambda' = -1 , e os autovetores correspondem aos autovetores de A .