Determine:
Una matriz P para a qual A P=P B, onde A=(cc1 & 1 0 & -1) e B=(cc-1 & 0 0 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma matriz P que satisfaça a equação A P = P B , onde:
A = 1 & 1 0 & -1 , B = -1 & 0 0 & 1
Então, o que precisamos entender aqui é que estamos procurando uma matriz P que, quando multiplicada pela matriz A à esquerda, dá o mesmo resultado que se multiplicarmos P pela matriz B à direita. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente a solução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a matriz P que estamos procurando é uma matriz 2x2, já que A e B são 2x2. Vamos chamar os elementos de P :
P = p11 & p12 p21 & p22
Nosso objetivo é encontrar os valores de p11, p12, p21 e p22 que satisfazem a equação A P = P B .

Passo 3

Vamos calcular A P e P B separadamente para montar a equação A P = P B .
Primeiro, multiplicando A por P :
A P = 1 & 1 0 & -1 p11 & p12 p21 & p22 = 1 cdot p11 + 1 cdot p21 & 1 cdot p12 + 1 cdot p22 0 cdot p11 + (-1) cdot p21 & 0 cdot p12 + (-1) cdot p22 = p11 + p21 & p12 + p22 -p21 & -p22
Agora, multiplicando P por B :
P B = p11 & p12 p21 & p22 -1 & 0 0 & 1 = p11 cdot (-1) + p12 cdot 0 & p11 cdot 0 + p12 cdot 1 p21 cdot (-1) + p22 cdot 0 & p21 cdot 0 + p22 cdot 1 = -p11 & p12 -p21 & p22

Passo 4

Agora que temos as duas expressões, montamos a equação A P = P B :
p11 + p21 & p12 + p22 -p21 & -p22 = -p11 & p12 -p21 & p22
Isso nos dá um sistema de equações correspondentes aos elementos das matrizes:
  1. p11 + p21 = -p11
  2. p12 + p22 = p12
  3. -p21 = -p21
  4. -p22 = p22

Passo 5

Vamos resolver cada equação uma por uma:
  1. p11 + p21 = -p11
    • Vamos somar p11 dos dois lados: p11 + p21 + p11 = 0
    • Simplifica para: 2 p11 + p21 = 0 (Equação 1)
  2. p12 + p22 = p12
    • Subtraindo p12 dos dois lados: p22 = 0
  3. -p21 = -p21
    • Essa equação é sempre verdadeira, não nos dá nova informação.
  4. -p22 = p22
    • Já sabemos que p22 = 0 , então isso confirma que p22 = 0

Passo 6

Voltando à Equação 1:
2 p11 + p21 = 0
Podemos resolver para p21 :
p21 = -2 p11
Então, até agora sabemos que:
p22 = 0, p21 = -2 p11
E as outras variáveis p11 e p12 não estão restritas por esse sistema, o que significa que podem ser quaisquer valores.

Passo 7

Portanto, a matriz P pode ser expressa em termos de p11 e p12 :
P = p11 & p12 -2 p11 & 0
Isso significa que para qualquer valor de p11 e p12 , essa matriz P vai satisfazer a equação A P = P B .

Resposta

Uma matriz P que satisfaz A P = P B é dada por:
P = p11 & p12 -2 p11 & 0
onde p11 e p12 podem ser quaisquer números reais.

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