Seja ABCV o tetraedro de base A(-4,0,0), B(0,-4,0) e C(-1,-1,-2) e vértice V(1,1,1).
Calcule o ângulo do diedro de origem r=over<=ftrightarrowAB e que contém as faces ABC e ABV do tetraedro, ou seja, o ângulo entre as faces ABC e ABV.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro com vértices
A(-4,0,0), B(0,-4,0), C(-1,-1,-2), V(1,1,1)
e pede o ângulo do diedro ao longo da reta r=over<=ftrightarrowAB entre as faces ABC e ABV. Para isso, vamos usar que o ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais, obtidos por produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, determinamos os vetores que saem de A:
AB=B-A=(0-(-4),,-4-0,,0-0)=(4,-4,0),
AC=C-A=(-1-(-4),,-1-0,,-2-0)=(3,-1,-2),
AV=V-A=(1-(-4),,1-0,,1-0)=(5,1,1)

Passo 3

O vetor normal ao plano ABC é
n1=ABtimesAC = i&j&k 4&-4&0 3&-1&-2 =(8,8,8)

Passo 4

O vetor normal ao plano ABV é
n2=ABtimesAV = i&j&k 4&-4&0 5&1&1 =(-4,-4,24)

Passo 5

O ângulo theta entre os planos satisfaz
costheta =l|n1cdotn2r||n1|;|n2|
Calculamos
n1cdotn2 =8cdot(-4)+8cdot(-4)+8cdot24=128,
|n1|=8raiz3, |n2|=4raiz38,
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costheta =1288raiz3times4raiz38 =12832raiz114 =4raiz114
Portanto
theta=arccos!l(4raiz114r)approx67,97^circ

Resposta

theta=arccos!l(4raiz114r)approx68^circ

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