Determine:
Os valores de para os quais a matriz seja diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir para quais valores de x a matriz A = 1 & 1 x & -1 é diagonalizável. Isso está relacionado com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores são soluções da equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Para encontrar os autovalores lambda , resolveremos essa equação quadrática.
Passo 6
A equação quadrática geral é alambda^2 + blambda + c = 0 . No nosso caso, a = 1 , b = 0 e c = -x - 1 . O discriminante D dessa equação é dado por:
D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4(1)(-x - 1) = 4(x + 1)
Passo 7
Para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que haja dois autovalores distintos. Isso acontece quando o discriminante D é diferente de zero:
D neq 0 Rightarrow 4(x + 1) neq 0 Rightarrow x + 1 neq 0 Rightarrow x neq -1
Passo 8
Portanto, para qualquer valor de x diferente de -1 , a matriz A terá dois autovalores distintos e, consequentemente, será diagonalizável. Porém, se x = -1 , os autovalores se tornam iguais ( D = 0 ), e precisamos verificar se a matriz ainda pode ser diagonalizada nesse caso.
Passo 9
Quando x = -1 , a matriz A se torna:
A = 1 & 1 -1 & -1
O único autovalor é lambda = 0 (com multiplicidade 2). Para verificar a diagonalização, precisamos ver se existem dois autovetores linearmente independentes. Resolvendo (A - 0I)v = 0 :
1 & 1 -1 & -1v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação v1 + v2 = 0 , ou seja, v1 = -v2 . Isso significa que há apenas um autovetor (até um múltiplo escalar), então a matriz não é diagonalizável quando x = -1 .
Resposta
A matriz A é diagonalizável para todo valor de x diferente de -1 . Ou seja, A é diagonalizável se e somente se x neq -1 .