Determine uma decomposição diagonal para as matrizes:
(ll7 & 2 2 & 4)

Passo 1

O enunciado pede a decomposição diagonal da matriz
A = 7 & 22 & 4,
isto é, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
P^-1 A P = D
Como A é simétrica, sabemos que existe umabase de autovetores ortogonais e podemos escolher P ortogonal (logo P^-1=P^T).

Passo 2

Calculamos os autovalores de A resolvendo o polinômio característico
det(A - lambda I) = det7-lambda & 22 & 4-lambda = (7-lambda)(4-lambda)-4 = lambda^2 - 11lambda + 24 = 0
As raízes são
lambda1 = 3 e lambda2 = 8

Passo 3

Para resolvemos
Da primeira equação segue . Tomamos como autovetor

Passo 4

Para resolvemos
Da primeira equação segue . Tomamos

Passo 5

Os vetores v1 e v2 são ortogonais pois
v1cdot v2 = 1cdot2 + (-2)cdot1 = 0
Normalizando cada um por raiz5, definimos a matriz ortogonal
P = 1/raiz5 & 2/raiz5 -2/raiz5 & 1/raiz5
Então, usando P^-1=P^T, obtemos
D = P^T A P = 3 & 00 & 8

Resposta

A = P cdot D cdot P^T, P = 1raiz5 & 2raiz5 [6pt] -2raiz5 & 1raiz5 , D = 3 & 00 & 8 ]

Exercícios relacionados