Determine uma decomposição diagonal para as matrizes:
Passo 1
O enunciado pede a decomposição diagonal da matriz
isto é, encontrar uma matriz invertível
P e uma matriz diagonal
D tais que
Como
A é simétrica, sabemos que existe umabase de autovetores ortogonais e podemos escolher
P ortogonal (logo
P^-1=P^T ).
Passo 2
Calculamos os autovalores de
A resolvendo o polinômio característico
As raízes são
Passo 3
Para
resolvemos
Da primeira equação
segue
. Tomamos como autovetor
Passo 4
Para
resolvemos
Da primeira equação
segue
. Tomamos
Passo 5
Os vetores
v1 e
v2 são ortogonais pois
Normalizando cada um por
raiz5 , definimos a matriz ortogonal
Então, usando
P^-1=P^T , obtemos