Determine uma decomposição diagonal para as matrizes:
Passo 1
O objetivo é diagonalizar a matriz
isto é, encontrar uma matriz invertível
P e uma matriz diagonal
D tais que
Para isso vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores de matrizes quadradas.
Passo 2
Calculamos os autovalores de
A resolvendo
Temos
logo
A equação característica é
portanto os autovalores são
lambda1 = 2 e
lambda2 = -1 .
Passo 3
Para cada autovalor encontramos um autovetor não-nulo:
Escolhendo
y=2 , um autovetor é
Escolhendo
u=v=1 , um autovetor é
Os vetores
v1 e
v2 são linearmente independentes, logo
A é diagonalizável.
Passo 4
Formamos a matriz
P cujas colunas são os autovetores e a diagonal
D dos autovalores:
O determinante de
P é
portanto
Assim concluímos que