Determine uma decomposição diagonal para as matrizes:
(ll4 & -5 2 & -3)

Passo 1

O objetivo é diagonalizar a matriz
A = 4 & -5 2 & -3,
isto é, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P,D,P^-1
Para isso vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores de matrizes quadradas.

Passo 2

Calculamos os autovalores de A resolvendo
det(A - lambda I) = 0
Temos
A - lambda I = 4-lambda & -5 2 & -3-lambda,
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det(A - lambda I) = (4-lambda)(-3-lambda) - (-5)cdot 2 = lambda^2 - lambda - 2
A equação característica é
lambda^2 - lambda - 2 = 0 Longrightarrow (lambda - 2)(lambda + 1) = 0,
portanto os autovalores são
lambda1 = 2 e lambda2 = -1.

Passo 3

Para cada autovalor encontramos um autovetor não-nulo:
1. Para lambda1 = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0:
2 & -5 2 & -5 x y = 0 ;Longrightarrow; 2x - 5y = 0 ;Longrightarrow; x = tfrac52y
Escolhendo y=2, um autovetor é
v1 = 5 2
2. Para lambda2 = -1, resolvemos (A + I)w = 0:
5 & -5 2 & -2 u v = 0 ;Longrightarrow; 5u - 5v = 0 ;Longrightarrow; u = v
Escolhendo u=v=1, um autovetor é
v2 = 1 1
Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes, logo A é diagonalizável.

Passo 4

Formamos a matriz P cujas colunas são os autovetores e a diagonal D dos autovalores:
P = 5 & 1 2 & 1, D = 2 & 0 0 & -1
O determinante de P é
det P = 5cdot 1 - 2cdot 1 = 3,
portanto
P^-1 = 13 1 & -1 -2 & 5
Assim concluímos que
A = P,D,P^-1

Resposta

P = 5 & 1 2 & 1, D = 2 & 0 0 & -1, P^-1 = 131 & -1 -2 & 5

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