Seja
uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita
tal que
.
(1) Mostre que os autovalores de
são 0 e 1.
(1) Mostre que os autovalores de
Passo 1
O enunciado diz que
é uma transformação linear num espaço vetorial de dimensão finita que satisfaz
O conteúdo envolvido é definição de autovalor e autovetor e propriedades de operadores idempotentes (ou projeções). Para mostrar que os únicos autovalores possíveis são 0 e 1, vamos partir da definição de autovetor.
Passo 2
Suponha que
seja um autovetor de
associado ao autovalor
. Por definição,
com
.
Passo 3
Como
, aplicamos
duas vezes em
:
Mas
. Logo,
Passo 4
Como
, o fator
deve ser zero. Portanto
Isso mostra que os únicos autovalores de
são 0 e 1.
Resposta
Os autovalores de
são exatamente
e
.