Seja T: V V uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita V tal que T^2=T.
(1) Mostre que os autovalores de T são 0 e 1.

Passo 1

O enunciado diz que T:Vto V é uma transformação linear num espaço vetorial de dimensão finita que satisfaz
T^2 = T
O conteúdo envolvido é definição de autovalor e autovetor e propriedades de operadores idempotentes (ou projeções). Para mostrar que os únicos autovalores possíveis são 0 e 1, vamos partir da definição de autovetor.

Passo 2

Suponha que vin V seja um autovetor de T associado ao autovalor lambda. Por definição,
T(v)=lambda,v,
com vneq0.

Passo 3

Como T^2=T, aplicamos T duas vezes em v:
T^2(v)=Tl(T(v)r)=T(lambda v)=lambda,T(v)=lambda^2 v
Mas T^2(v)=T(v)=lambda v. Logo,
lambda^2 v = lambda v Longrightarrow (lambda^2-lambda),v=0 Longrightarrow lambda(lambda-1),v=0

Passo 4

Como vneq0, o fator lambda(lambda-1) deve ser zero. Portanto
lambda(lambda-1)=0 Longrightarrow lambda=0 ou lambda=1
Isso mostra que os únicos autovalores de T são 0 e 1.

Resposta

Os autovalores de T são exatamente 0 e 1.

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