Encontre o polinômio característico dos seguintes operadores lineares:
a) T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x-y, 3 x+2 y)
b) D: V V, D(f)=f^prime, onde V=spansen(x), cos (x).
(Sugestão para item b: escreva a matriz [D]B, com relação à base B=sen(x), cos (x).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de dois operadores lineares. No item (a) temos T:R^2toR^2 dado por
T(x,y) = (2x - y,;3x + 2y),
que estudaremos na base canônica de R^2.
No item (b) temos D:Vto V, D(f)=f', onde V=spansin(x),cos(x), e usaremos a base B=sin(x),cos(x). Em ambos os casos, formaremos a matriz da transformação, subtrairemos lambda I e calcularemos o determinante para obter o polinômio característico.

Passo 2

Para o item (a), na base canônica e1,e2 de R^2, a matriz de T é
A = [T] = 2 & -1 [4pt] 3 & 2
O polinômio característico vem de
det(A - lambda I) = det!2-lambda & -1 [4pt] 3 & 2-lambda ]

Passo 3

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (2-lambda)^2 - (-1)cdot 3 = (2-lambda)^2 + 3 = lambda^2 -4lambda +4 +3 = lambda^2 -4lambda +7

Passo 4

Para o item (b), na base B=sin(x),cos(x), temos
D(sin(x)) = cos(x) = 0cdotsin(x) + 1cdotcos(x),
D(cos(x)) = -sin(x) = -1cdotsin(x) + 0cdotcos(x)
Assim, a matriz de D nessa base é
M = [D]B = 0 & -1 [4pt] 1 & 0,
once a primeira coluna é a imagem de sin(x) e a segunda a de cos(x).]

Passo 5

O polinômio característico de M é
det(M - lambda I) = det!-lambda & -1 [4pt] 1 & -lambda = (-lambda)^2 - (-1)cdot 1 = lambda^2 + 1 ]

Resposta

(a) lambda^2 - 4lambda + 7
(b) lambda^2 + 1

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