a) Para que o sistema
-4 x1+3 x2 & =2 5 x1-4 x2 & =0 2 x1-x2 & =k
admita solução.
Respostas: a) k=-6
b) Para que o sistema
2 x1-5 x2+3 x3 & =0 x1+x2+x3 & =0 k x3+2 x1 & =0
tenha apenas a solução trivial.
Respostas: b) k=2;
c) Para que o sistema
3 x1+4 x2+12 x3-x4 & =-3 x1+x2+4 x3-x4 & =-6 2 x2+2 x3+x4 & =5 k x4+2 x3 & =9
não tenha solução.
Respostas: c) k=-1.

Passo 1

O enunciado apresenta três sistemas lineares que dependem do parâmetro k.
a) é um sistema compatível de 3 equações e 2 incógnitas; precisamos impor que a terceira equação seja consistente com a solução das duas primeiras.
b) é um sistema homogêneo 3times3; para ter apenas a solução trivial, o determinante da matriz de coeficientes deve ser não–nulo.
c) é um sistema 4times4; para não ter solução, a classificação por postos deve atingir uma linha impossível (posto da matriz aumentada maior que o da matriz de coeficientes).

Passo 2

Para (a), resolvemos as duas primeiras equações em x1,x2 e exigimos que a terceira seja satisfeita.
Da segunda:
5x1 - 4x2 = 0 ;implies; x2 = 54x1
Substituindo na primeira:
-4x1 + 3l(54x1r)=2 ;implies; l(-4 + tfrac154r)x1 = 2 ;implies; -tfrac14x1 = 2 ;implies; x1 = -8, x2 = 54(-8) = -10
Agora a terceira equação dá
2x1 - x2 = k ;implies; 2(-8) - (-10) = k ;implies; -16 +10 = k ;implies; k = -6

Passo 3

Para (b), o sistema é
Temos apenas a solução trivial se e somente se
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
Logo, para ter só a solução trivial é necessário e suficiente

Passo 4

Para (c), montamos a matriz aumentada e eliminamos até chegar a duas equações em [x_2,x_3). Do sistema:
( )
( )
( )
( ) .
Eliminando das primeiras três, chega-se a um subsistema em duas equações para :
Para o sistema original não ter nenhuma solução (inconsistência), esse subsistema deve ter posto maior na matriz aumentada do que na de coeficientes. Primeiro, impondo det dos coeficientes:
Verifica-se então que, com , as constantes ficam desajustadas (não são múltiplos na mesma proporção), gerando uma linha impossível do tipo ã. Portanto não há solução.

Resposta

a) k = -6
b) k neq tfrac167
c) k = tfrac38

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