O enunciado apresenta três sistemas lineares que dependem do parâmetro k.
a) é um sistema compatível de 3 equações e 2 incógnitas; precisamos impor que a terceira equação seja consistente com a solução das duas primeiras.
b) é um sistema homogêneo 3times3; para ter apenas a solução trivial, o determinante da matriz de coeficientes deve ser não–nulo.
c) é um sistema 4times4; para não ter solução, a classificação por postos deve atingir uma linha impossível (posto da matriz aumentada maior que o da matriz de coeficientes).
Passo 2
Para (a), resolvemos as duas primeiras equações em x1,x2 e exigimos que a terceira seja satisfeita.
Da segunda:
2x1 - x2 = k ;implies; 2(-8) - (-10) = k ;implies; -16 +10 = k ;implies; k = -6
Passo 3
Para (b), o sistema é
Temos apenas a solução trivial se e somente se
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
Logo, para ter só a solução trivial é necessário e suficiente
Passo 4
Para (c), montamos a matriz aumentada e eliminamos até chegar a duas equações em [x_2,x_3). Do sistema:
()
()
()
().
Eliminando das primeiras três, chega-se a um subsistema em duas equações para :
Para o sistema original não ter nenhuma solução (inconsistência), esse subsistema deve ter posto maior na matriz aumentada do que na de coeficientes. Primeiro, impondo det dos coeficientes:
Verifica-se então que, com , as constantes ficam desajustadas (não são múltiplos na mesma proporção), gerando uma linha impossível do tipo ã. Portanto não há solução.