4 Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Prove que
e
.
Passo 1
Temos subespaços
e
de um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Precisamos provar duas equalidades de complementos ortogonais:
e
. Vamos usar a definição de complemento ortogonal e a propriedade de dupla ortogonal em espaços de dimensão finita.
Passo 2
Provar
. Seja
. Então para todo
e
vale
. Pela linearidade do produto interno,
. Fixando
obtemos
para todo
, logo
. Analogamente
. Assim
.
Passo 3
Provar
. Seja
. Então
e
para todo
e
. Para qualquer
temos
. Logo
.
Passo 4
Para a segunda igualdade, aplicamos o resultado já obtido aos subespaços
e
. Obtemos
Em espaços de dimensão finita vale a propriedade de dupla ortogonal:
Logo
Passo 5
Tomando complemento ortogonal em ambos os lados da igualdade anterior e usando de novo a dupla ortogonal, temos
Isso mostra a segunda igualdade desejada.
Resposta
As duas igualdades valem:
e
.