4 Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Prove que e .

Passo 1

Temos subespaços W1 e W2 de um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Precisamos provar duas equalidades de complementos ortogonais: (W1+W2)^perp = W1^perp cap W2^perp e (W1cap W2)^perp = W1^perp + W2^perp. Vamos usar a definição de complemento ortogonal e a propriedade de dupla ortogonal em espaços de dimensão finita.

Passo 2

Provar (W1+W2)^perp subseteq W1^perp cap W2^perp. Seja v in (W1+W2)^perp. Então para todo w1in W1 e w2in W2 vale lang<= v, w1 + w2rang<= = 0. Pela linearidade do produto interno, lang<= v,w1rang<= + lang<= v,w2rang<= = 0. Fixando w2=0 obtemos lang<= v,w1rang<==0 para todo w1, logo vin W1^perp. Analogamente vin W2^perp. Assim vin W1^perpcap W2^perp.

Passo 3

Provar W1^perp cap W2^perp subseteq (W1+W2)^perp. Seja vin W1^perp cap W2^perp. Então lang<= v, w1rang<= = 0 e lang<= v, w2rang<= = 0 para todo w1in W1 e w2in W2. Para qualquer u = w1 + w2in W1+W2 temos lang<= v, urang<= = lang<= v,w1+w2rang<= = lang<= v,w1rang<= + lang<= v,w2rang<= = 0. Logo vin (W1+W2)^perp.

Passo 4

Para a segunda igualdade, aplicamos o resultado já obtido aos subespaços W1^perp e W2^perp. Obtemos
(W1^perp + W2^perp)^perp = W1^perpperp cap W2^perpperp
Em espaços de dimensão finita vale a propriedade de dupla ortogonal:
W^perpperp = W
Logo
(W1^perp + W2^perp)^perp = W1 cap W2

Passo 5

Tomando complemento ortogonal em ambos os lados da igualdade anterior e usando de novo a dupla ortogonal, temos
(W1 cap W2)^perp = l((W1^perp + W2^perp)^perpr)^perp = W1^perp + W2^perp
Isso mostra a segunda igualdade desejada.

Resposta

As duas igualdades valem: (W1+W2)^perp = W1^perp cap W2^perp e (W1cap W2)^perp = W1^perp + W2^perp.

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