8 Seja um conjunto ortogonal de vetores. Mostre que é ortogonal, para qualquer escolha de escalares .
Passo 1
O enunciado diz que temos um conjunto ortogonal de vetores , ou seja, para vale . Precisamos mostrar que, ao multiplicar cada vetor por um escalar , o conjunto continua ortogonal. Para isso, vamos usar as propriedades do produto interno.
Passo 2
Em espaços com produto interno, vale a propriedade de linearidade em cada argumento. Especificamente, para quaisquer escalares e vetores temos:
Passo 3
Agora, seja ineq j. Vamos calcular o produto interno entre alphai ui e alphaj uj: