8 Seja alpha1, alpha2, ldots, alphan in K um conjunto ortogonal de vetores. Mostre que é ortogonal, para qualquer escolha de escalares .

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto ortogonal de vetores u1,u2,dots,un, ou seja, para ineq j vale lang<= ui,ujrang<==0. Precisamos mostrar que, ao multiplicar cada vetor ui por um escalar alphai, o conjunto alpha1u1,alpha2u2,dots,alphanun continua ortogonal. Para isso, vamos usar as propriedades do produto interno.

Passo 2

Em espaços com produto interno, vale a propriedade de linearidade em cada argumento. Especificamente, para quaisquer escalares alpha,betain K e vetores u,v temos:
lang<= alpha u,beta vrang<= = alpha,beta,lang<= u,vrang<=

Passo 3

Agora, seja ineq j. Vamos calcular o produto interno entre alphai ui e alphaj uj:
lang<= alphai ui,alphaj ujrang<= = alphai,alphaj,lang<= ui,ujrang<=

Passo 4

Como o conjunto original é ortogonal, lang<= ui,ujrang<==0 para ineq j. Logo:
lang<= alphai ui,alphaj ujrang<= = alphai,alphajcdot 0 = 0

Passo 5

Isso mostra que todo par distinto de vetores escalados tem produto interno zero, ou seja, o novo conjunto é ortogonal.

Resposta

O conjunto alpha1u1,alpha2u2,dots,alphanun é ortogonal, pois para todo ineq j vale
lang<= alphai ui,alphaj ujrang<= = alphai,alphaj,lang<= ui,ujrang<= = 0

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