Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter bases ortonormais a partir das bases abaixo. A seguir, determine as coordenadas do vetor w em relação à base ortonormal obtida:
(1,6),(-1,2), w=(1,0)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de ortonormalização de Gram–Schmidt na base original v1,v2=(1,6),(-1,2) em R^2 e, depois, expressar o vetor w=(1,0) nessa nova base ortonormal. Vamos precisar usar definições de norma, projeção ortogonal e produto escalar para obter os vetores ortonormais e, por fim, calcular coordenadas via produto escalar.

Passo 2

Começamos normalizando v1=(1,6). Primeiro, calculamos sua norma: |v1|=raiz1^2+6^2=raiz37. Em seguida, definimos o primeiro vetor ortonormal
u1=v1|v1|=l(1raiz37,6raiz37r)

Passo 3

Para obter o segundo vetor, projetamos v2=(-1,2) em nu1 e subtraímos essa projeção de v2:
projnu1(v2)=l(v2cdotnu1r),nu1 =11raiz37,nu1 =l(1137,6637r)
Então
w2=v2-projnu1(v2)=l(-1-1137,;2-6637r)=l(-4837,837r)
Calculamos a norma de w2:
|w2|=137raiz(-48)^2+8^2=8raiz3737
Por fim, normalizamos para obter
nu2=w2|w2|=l(-6raiz37,1raiz37r)

Passo 4

Agora temos a base ortonormal nu1,nu2. Para encontrar as coordenadas de w=(1,0) nessa base, usamos o fato de que, em base ortonormal, as coordenadas são wcdotnui. Logo:
alpha=wcdotnu1=1cdot1raiz37+0cdot6raiz37=1raiz37,
beta=wcdotnu2=1cdotl(-6raiz37r)+0cdot1raiz37=-6raiz37

Resposta

A base ortonormal obtida é ,(tfrac1raiz37,tfrac6raiz37),;(-tfrac6raiz37,tfrac1raiz37) e as coordenadas de w=(1,0) nessa base são l(tfrac1raiz37,-tfrac6raiz37r).

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