Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter bases ortonormais a partir das bases abaixo. A seguir, determine as coordenadas do vetor
em relação à base ortonormal obtida:
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o processo de ortonormalização de Gram–Schmidt na base original
em
e, depois, expressar o vetor
nessa nova base ortonormal. Vamos precisar usar definições de norma, projeção ortogonal e produto escalar para obter os vetores ortonormais e, por fim, calcular coordenadas via produto escalar.
Passo 2
Começamos normalizando
. Primeiro, calculamos sua norma:
. Em seguida, definimos o primeiro vetor ortonormal
Passo 3
Para obter o segundo vetor, projetamos
em
e subtraímos essa projeção de
:
Então
Calculamos a norma de
:
Por fim, normalizamos para obter
Passo 4
Agora temos a base ortonormal
. Para encontrar as coordenadas de
nessa base, usamos o fato de que, em base ortonormal, as coordenadas são
. Logo:
Resposta
A base ortonormal obtida é
e as coordenadas de
nessa base são
.