Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

Passo 1

Aqui a questão pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A=1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
O assunto é autovalores e autovetores de matrizes, e vamos precisar usar o polinômio característico e resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo, o polinômio característico é
det(A-lambda I)=(1-lambda)^3
e o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Agora, para achar os autovetores, resolvemos
(A-I)v=0
que equivale a
0 & 0 & 10 & 0 & 10 & 0 & 0v1v2v3=0
Isso dá as equações
v3=0,v3=0
Logo, v3=0 e v1,v2 são livres. O espaço próprio é
E1=(v1,v2,0)^T: v1,v2in R,,
que tem dimensão 2 e é gerado, por exemplo, pelos vetores (1,0,0)^T e (0,1,0)^T.

Resposta

O único autovalor é lambda=1 (multiplicidade 3). Os autovetores são todos os vetores da forma (v1,v2,0)^T, com (v1,v2)neq(0,0), por exemplo os vetores (1,0,0)^T e (0,1,0)^T geram o espaço próprio.

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