Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
. Justifique as suas respostas.
Funções
em
tais que
ou
.
Funções
Passo 1
O enunciado pede para a gente testar se o conjunto
S = {f ∈ C[−1,1] ∣ f(−1)=0 ou f(1)=0} é subespaço vetorial de C[−1,1]. Vamos usar os critérios de subespaço: ter o vetor zero, ser fechado em soma e em multiplicação escalar.
S = {f ∈ C[−1,1] ∣ f(−1)=0 ou f(1)=0} é subespaço vetorial de C[−1,1]. Vamos usar os critérios de subespaço: ter o vetor zero, ser fechado em soma e em multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, verificar se a função zero f₀(x)=0 pertence a S. Como f₀(−1)=0 e f₀(1)=0, ela satisfaz tanto f(−1)=0 quanto f(1)=0, logo f₀∈S.
Passo 3
Agora, checar fechamento em multiplicação escalar. Se f∈S, então ou f(−1)=0 ou f(1)=0. Para qualquer α∈ℝ temos αf(−1)=α·0=0 ou αf(1)=α·0=0, portanto αf também satisfaz a condição e αf∈S.
Passo 4
Em seguida, testar fechamento em soma. Considere f(x)=x+1 e g(x)=x−1. Temos f(−1)=0 (mas f(1)=2≠0) e g(1)=0 (mas g(−1)=−2≠0), então f∈S e g∈S. Porém
f+g(x)=(x+1)+(x−1)=2x implica (f+g)(−1)=−2≠0 e (f+g)(1)=2≠0.
f+g(x)=(x+1)+(x−1)=2x implica (f+g)(−1)=−2≠0 e (f+g)(1)=2≠0.
Passo 5
Como (f+g) não satisfaz f(−1)=0 nem f(1)=0, concluímos que f+g∉S. Assim, S não é fechado sob adição.
Passo 6
Portanto, S não satisfaz todos os critérios de subespaço vetorial de C[−1,1].
Resposta
O conjunto não é subespaço vetorial de C[−1,1], pois falha no fechamento em soma.