Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter bases ortonormais a partir das bases abaixo. A seguir, determine as coordenadas do vetor
em relação à base ortonormal obtida:
Passo 1
Resumindo, queremos aplicar o processo de Gram–Schmidt na base v₁=(1,1,1,1), v₂=(1,1,1,0), v₃=(1,1,0,0), v₄=(1,0,0,0) em ℝ⁴ para obter vetores ortogonais e depois normalizá-los, formando uma base ortonormal {u₁,u₂,u₃,u₄}. Em seguida, expressaremos o vetor w=(0,0,1,−1) nessa base como coordenadas αᵢ=⟨w,uᵢ⟩. Vamos usar o produto interno canônico e a projeção
proj₍u₎(v)=(v·u)u.
proj₍u₎(v)=(v·u)u.
Passo 2
Começando com v₁=(1,1,1,1), sua norma é
, logo
Passo 3
Para v₂=(1,1,1,0) calculamos a projeção em u₁:
. Subtraindo
sua norma é
Passo 4
Em v₃=(1,1,0,0) primeiro subtraímos projeção em u₁ (coeficiente 1), obtendo
Depois subtraímos projeção em u₂ (coeficiente 1/√3), resultando
sua norma é
e portanto
Passo 5
Para v₄=(1,0,0,0) subtraímos sucessivamente projeções em u₁ (coeficiente 1/2), u₂ (1/(2√3)) e u₃ (1/√6), chegando em
com norma 1/√2, daí
Passo 6
Agora as coordenadas de w=(0,0,1,−1) na base ortonormal são αᵢ=w·uᵢ. Calculando em linha:
.