Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter bases ortonormais a partir das bases abaixo. A seguir, determine as coordenadas do vetor w em relação à base ortonormal obtida:
(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0), w=(0,0,1,-1)

Passo 1

Resumindo, queremos aplicar o processo de Gram–Schmidt na base v₁=(1,1,1,1), v₂=(1,1,1,0), v₃=(1,1,0,0), v₄=(1,0,0,0) em ℝ⁴ para obter vetores ortogonais e depois normalizá-los, formando uma base ortonormal {u₁,u₂,u₃,u₄}. Em seguida, expressaremos o vetor w=(0,0,1,−1) nessa base como coordenadas αᵢ=⟨w,uᵢ⟩. Vamos usar o produto interno canônico e a projeção
proj₍u₎(v)=(v·u)u.

Passo 2

Começando com v₁=(1,1,1,1), sua norma é |v₁|=2, logo
u₁=v₁|v₁|=12(1,1,1,1)

Passo 3

Para v₂=(1,1,1,0) calculamos a projeção em u₁: v₂·u₁=3/2. Subtraindo
v₂'=v₂-(3/2)u₁=(1/4,1/4,1/4,−3/4),
sua norma é |v₂'|=raiz3/2, daí
u₂=v₂'|v₂'|=l(tfrac12raiz3,tfrac12raiz3,tfrac12raiz3,-tfrac32raiz3r)

Passo 4

Em v₃=(1,1,0,0) primeiro subtraímos projeção em u₁ (coeficiente 1), obtendo
v31=(1/2,1/2,-1/2,-1/2)
Depois subtraímos projeção em u₂ (coeficiente 1/√3), resultando
v₃'=l(1/3,1/3,-2/3,0r),
sua norma é raiz6/3 e portanto
u₃=v₃'|v₃'|=l(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6,0r)

Passo 5

Para v₄=(1,0,0,0) subtraímos sucessivamente projeções em u₁ (coeficiente 1/2), u₂ (1/(2√3)) e u₃ (1/√6), chegando em
v₄'=(1/2,-1/2,0,0),
com norma 1/√2, daí
u₄=v₄'|v₄'|=l(tfracraiz22,-tfracraiz22,0,0r)

Passo 6

Agora as coordenadas de w=(0,0,1,−1) na base ortonormal são αᵢ=w·uᵢ. Calculando em linha: alpha1=0,;alpha2=2/raiz3,;alpha3=-2/raiz6,;alpha4=0.

Resposta

l(0,,tfrac2raiz3,,-tfrac2raiz6,,0r)

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