Seja v=(1,2,3,4,6). Ache a projeção de v sobre W (ou equivalentemente w in W que minimiza |v-w|), onde W é o subespaço gerado por:
u1=(1,2,1,2,1) e u2=(1,-1,2,-1,1);

Passo 1

Temos o vetor v = (1,2,3,4,6) e o subespaço W = spanu1,u2, com u1=(1,2,1,2,1) e u2=(1,-1,2,-1,1). A tarefa é encontrar win W que minimiza |v - w|, ou seja, a projeção ortogonal de v em W. Para isso, vamos usar produto interno e matriz de Gram.

Passo 2

Vamos calcular as normas e o produto interno entre u1 e u2:
lang<= u1, u1 rang<= = 1^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2 = 11
lang<= u2, u2 rang<= = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 8
lang<= u1, u2 rang<= = 1cdot1 + 2cdot(-1) + 1cdot2 + 2cdot(-1) + 1cdot1 = 0

Passo 3

Como lang<= u1, u2rang<= = 0, os vetores são ortogonais e a projeção fica dada por
alpha = lang<= v, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<=, beta = lang<= v, u2 rang<=lang<= u2, u2 rang<=

Passo 4

Agora calculamos lang<= v,u1rang<= e lang<= v,u2rang<=:
lang<= v, u1 rang<= = 1cdot1 + 2cdot2 + 3cdot1 + 4cdot2 + 6cdot1 = 22
lang<= v, u2 rang<= = 1cdot1 + 2cdot(-1) + 3cdot2 + 4cdot(-1) + 6cdot1 = 7

Passo 5

Logo,
alpha = 2211 = 2, beta = 78

Passo 6

A projeção é
w = alpha,u1 + beta,u2 = 2,(1,2,1,2,1) + 78,(1,-1,2,-1,1)

Passo 7

Fazendo as contas coordenada a coordenada,
w = l(tfrac238,tfrac258,tfrac154,tfrac258,tfrac238r)

Resposta

(23/8, 25/8, 15/4, 25/8, 23/8)

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