Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
ccc1 & -1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3

Passo 1

A gente tem a matriz 3×3 triangular superior
A=1 & -1 & 10 & 2 & 10 & 0 & 3
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de matrizes. Para resolver, vamos usar: (1) cálculo do polinômio característico det(A−λI)=0 para achar os autovalores; (2) resolver (A−λI)v=0 para cada λ, encontrando os autovetores.

Passo 2

O polinômio característico de uma matriz triangular é o produto das entradas diagonais menos λ. Logo,
chi(λ)=det(A-λI)=(1-λ)(2-λ)(3-λ)
Olhando a equação (1-λ)(2-λ)(3-λ)=0, vemos que os autovalores são λ₁=1, λ₂=2, λ₃=3.

Passo 3

Para λ₁=1, montamos (A−I)v=0:
A-I=0 & -1 & 10 & 1 & 10 & 0 & 2
Chamando v=(x,y,z), o sistema é
-y+z=0, y+z=0, 2z=0
Daí z=0, y=0 e x fica livre. Escolhendo x=1, um autovetor é v₁=(1,0,0)ᵀ.

Passo 4

Para λ₂=2, montamos (A−2I)v=0:
A-2I=-1 & -1 & 10 & 0 & 10 & 0 & 1
O sistema é
-x-y+z=0, z=0, z=0
Logo z=0 e x+y=0. Tomando x=1, y=-1 e z=0, um autovetor é v₂=(1,-1,0)ᵀ.

Passo 5

Para λ₃=3, montamos (A−3I)v=0:
A-3I=-2 & -1 & 10 & -1 & 10 & 0 & 0
O sistema fica
-2x-y+z=0, -y+z=0, 0=0
Da segunda equação z=y e da primeira -2x-y+y=0 ⇒ x=0. Tomando y=1, z=1, o autovetor é v₃=(0,1,1)ᵀ.

Resposta

Os autovalores são 1, 2 e 3. Autovetores correspondentes (até escala) são:
• Para λ=1: (1,0,0)ᵀ
• Para λ=2: (1,−1,0)ᵀ
• Para λ=3: (0,1,1)ᵀ

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