Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de
expressas na base canônica, onde
é a dimensão da matriz quadrada,
.
Passo 1
A gente tem a matriz 3×3 triangular superior
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de matrizes. Para resolver, vamos usar: (1) cálculo do polinômio característico det(A−λI)=0 para achar os autovalores; (2) resolver (A−λI)v=0 para cada λ, encontrando os autovetores.
Passo 2
O polinômio característico de uma matriz triangular é o produto das entradas diagonais menos λ. Logo,
Olhando a equação (1-λ)(2-λ)(3-λ)=0, vemos que os autovalores são λ₁=1, λ₂=2, λ₃=3.
Passo 3
Para λ₁=1, montamos (A−I)v=0:
Chamando v=(x,y,z), o sistema é
Daí z=0, y=0 e x fica livre. Escolhendo x=1, um autovetor é v₁=(1,0,0)ᵀ.
Passo 4
Para λ₂=2, montamos (A−2I)v=0:
O sistema é
Logo z=0 e x+y=0. Tomando x=1, y=-1 e z=0, um autovetor é v₂=(1,-1,0)ᵀ.
Passo 5
Para λ₃=3, montamos (A−3I)v=0:
O sistema fica
Da segunda equação z=y e da primeira -2x-y+y=0 ⇒ x=0. Tomando y=1, z=1, o autovetor é v₃=(0,1,1)ᵀ.
Resposta
Os autovalores são 1, 2 e 3. Autovetores correspondentes (até escala) são:
• Para λ=1: (1,0,0)ᵀ
• Para λ=2: (1,−1,0)ᵀ
• Para λ=3: (0,1,1)ᵀ
• Para λ=1: (1,0,0)ᵀ
• Para λ=2: (1,−1,0)ᵀ
• Para λ=3: (0,1,1)ᵀ