Determine bases ortonormais para ker A, ker A^t, Im A e Im A^t para as matrizes A abaixo:
rrr1 & 0 & 1 0 & -1 & 2 1 & 0 & 1

Passo 1

O enunciado pede bases ortonormais para os quatro subespaços fundamentais de A: o núcleo de A, o núcleo de A^T, a imagem de A e a imagem de A^T. Vamos usar teoria de sistemas lineares para achar nullspaces e pivot columns/rows para as imagens, e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar.

Passo 2

Para achar ker A, resolvemos o sistema A x=0, A=1&0&10&-1&21&0&1Em coordenadas isso dá: x1+x3=0-x2+2x3=0x1+x3=0Daí x_1=-t, x_2=2t, x_3=t, ou x=t(-1,2,1).
Como ker A é unidimensional, basta normalizar v=(-1,2,1). O seu comprimento é |v|=raiz(-1)^2+2^2+1^2=raiz6. Assim uma base ortonormal de ker A é 1raiz6(-1,2,1)

Passo 3

Para achar ker A^T, resolvemos A^T y=0, A^T=1&0&10&-1&01&2&1Isso leva ao sistema: y1+y3=0-y2=0y1+2y2+y3=0Logo y_2=0, y_1=-t, y_3=t, ou y=t(-1,0,1).
Normalize w=(-1,0,1): |w|=raiz1+0+1=raiz2. Assim a base ortonormal de ker A^T é 1raiz2(-1,0,1)

Passo 4

Para Im A (coluna de A), os pivôs estão nas colunas 1 e 2. Tomamos c1=(1,0,1) e c2=(0,-1,0). Aplicamos Gram–Schmidt: primeiro u1=c1|c1|=1raiz2(1,0,1). Como c2cdot u1=0, já temos u2=c2|c2|=(0,-1,0).
Logo uma base ortonormal de Im A é 1raiz2(1,0,1),;(0,-1,0)

Passo 5

Para Im A^T (row space), usamos as linhas 1 e 2: r1=(1,0,1), r2=(0,-1,2). Gram–Schmidt: v1=r1|r1|=1raiz2(1,0,1). Calculamos r2cdot v1=2raiz2=raiz2, então v2=r2-(r2cdot v1)v1=(0,-1,2)-raiz2cdot1raiz2(1,0,1)=(-1,-1,1)Normalizando, |v2|=raiz3 e u2=1raiz3(-1,-1,1).
Assim uma base ortonormal de Im A^T é 1raiz2(1,0,1),;1raiz3(-1,-1,1)

Resposta

Bases ortonormais:
ker A = { (−1,2,1)/√6 }
ker A^T = { (−1,0,1)/√2 }
Im A = { (1,0,1)/√2 , (0,−1,0) }
Im A^T = { (1,0,1)/√2 , (−1,−1,1)/√3 }

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