Seja v=(1,2,3,4,6). Ache a projeção de v sobre W (ou equivalentemente w in W que minimiza |v-w|), onde W é o subespaço gerado por:
u1=(1,2,1,2,1) e u2=(1,0,1,5,-1).

Passo 1

Temos o vetor v=(1,2,3,4,6) e o subespaço W gerado por u1=(1,2,1,2,1) e u2=(1,0,1,5,-1). Queremos encontrar a projeção de v em W, ou seja, o vetor win W que minimiza |v-w|. Para isso usaremos projeção ortogonal via equações normais.
Como win W é combinação linear de u1 e u2, escrevemos w=a,u1+b,u2. A condição de projeção ortogonal exige que v-w seja ortogonal a cada gerador, isto é, lang<= v-w,uirang<==0 para i=1,2. Isso gera o sistema normais Gab=c, onde G é a matriz de Gram de u1,u2 e c tem componentes lang<= v,uirang<=.

Passo 2

Calculamos os elementos da matriz de Gram:
lang<= u1,u1rang<==1^2+2^2+1^2+2^2+1^2=11, lang<= u1,u2rang<==1cdot1+2cdot0+1cdot1+2cdot5+1cdot(-1)=11, lang<= u2,u2rang<==1^2+0^2+1^2+5^2+(-1)^2=28
Logo,
G=11 & 1111 & 28

Passo 3

Agora calculamos o vetor do lado direito:
lang<= v,u1rang<==1cdot1+2cdot2+3cdot1+4cdot2+6cdot1=22, lang<= v,u2rang<==1cdot1+2cdot0+3cdot1+4cdot5+6cdot(-1)=18
Assim,
c=2218

Passo 4

O sistema a resolver é
11 & 1111 & 28 ab =2218

Passo 5

Calculamos o determinante D=11cdot28-11cdot11=187. Pelas fórmulas de Cramer,
a=28cdot22-11cdot18187=418187=3817, b=11cdot18-11cdot22187=-44187=-417

Passo 6

Com a=tfrac3817 e b=-tfrac417, obtemos as componentes de w=a,u1+b,u2:




Resposta

l(tfrac3417,tfrac7617,tfrac3417,tfrac5617,tfrac4217r)

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