Seja
. Ache a projeção de
sobre
(ou equivalentemente
que minimiza
, onde
é o subespaço gerado por:
e
.
Passo 1
Temos o vetor
e o subespaço
gerado por
e
. Queremos encontrar a projeção de
em
, ou seja, o vetor
que minimiza
. Para isso usaremos projeção ortogonal via equações normais.
Como é combinação linear de
e
, escrevemos
. A condição de projeção ortogonal exige que
seja ortogonal a cada gerador, isto é,
para
. Isso gera o sistema normais
, onde
é a matriz de Gram de
e
tem componentes
.
Como
Passo 2
Calculamos os elementos da matriz de Gram:
Logo,
Passo 3
Agora calculamos o vetor do lado direito:
Assim,
Passo 4
O sistema a resolver é
Passo 5
Calculamos o determinante
. Pelas fórmulas de Cramer,
Passo 6
Com
e
, obtemos as componentes de
: