(2 pontos) Seja
a quádrica dada pela equação
.
(a) Determine, se possível, um valor de
tal que a interseção da quádrica
com o plano
seja uma elipse.
(b) Para quais valores de
a interseção da quádrica com o plano
é vazia?
(c) Existe algum valor de
tal que a interseção da quádrica com o plano
seja apenas um ponto?
(d) Existe algum valor de
tal que a interseção da quádrica com o plano seja uma hipérbole?
(a) Determine, se possível, um valor de
(b) Para quais valores de
(c) Existe algum valor de
(d) Existe algum valor de
Passo 1
O enunciado nos dá a quádrica
e pede a interseção com o plano
. Vamos usar a teoria de seções cônicas: ao fixar
, obtemos em
uma cônica centrada na origem, da forma
Passo 2
Substituindo
na equação de
temos
ou seja
Denotemos
. A equação fica
Passo 3
Para que essa cônica seja uma elipse real, precisamos que os coeficientes de
e de
sejam do mesmo sinal (aqui são
e
) e que
. Logo
Passo 4
Se
, ou seja
(isto é,
), não há solução real para
, pois soma de quadrados não pode ser negativa. Assim a interseção é vazia.
Passo 5
No caso limite
, ou seja
(portanto
), a equação vira
que só admite a solução
,
. Logo a interseção é exatamente o ponto
.
Passo 6
Para ter hipérbole precisaríamos um coeficiente positivo e outro negativo em
e
. Mas aqui ambos são positivos
e
, independente de
. Logo não existe valor de
que gere hipérbole.
Resposta
(a) Para
(por exemplo
) a seção é elipse.
(b) Para a seção é vazia.
(c) Para a seção reduz-se a um ponto.
(d) Não existe valor de que produza hipérbole.
(b) Para
(c) Para
(d) Não existe valor de