(2 pontos) Seja Q a quádrica dada pela equação 3 x^{2}+4 y^{2}+m z^{2}=12.
(a) Determine, se possível, um valor de m tal que a interseção da quádrica Q com o plano z=1 seja uma elipse.
(b) Para quais valores de m a interseção da quádrica com o plano z=1 é vazia?
(c) Existe algum valor de m tal que a interseção da quádrica com o plano z=1 seja apenas um ponto?
(d) Existe algum valor de m tal que a interseção da quádrica com o plano seja uma hipérbole?

Passo 1

O enunciado nos dá a quádrica
3x^{2}+4y^{2}+m\,z^{2}=12
e pede a interseção com o plano z=1. Vamos usar a teoria de seções cônicas: ao fixar z, obtemos em x,y uma cônica centrada na origem, da forma
3x^{2}+4y^{2}=12-m.

Passo 2

Substituindo z=1 na equação de Q temos
3x^{2}+4y^{2}+m\cdot1^{2}=12
ou seja
3x^{2}+4y^{2}=12-m.
Denotemos \lambda=12-m. A equação fica
3x^{2}+4y^{2}=\lambda.

Passo 3

Para que essa cônica seja uma elipse real, precisamos que os coeficientes de x^{2} e de y^{2} sejam do mesmo sinal (aqui são +3 e +4) e que \lambda>0. Logo
\lambda>0\quad\Longleftrightarrow\quad12-m>0\quad\Longleftrightarrow\quad m<12.

Passo 4

Se \lambda<0, ou seja 12-m<0 (isto é, m>12), não há solução real para 3x^{2}+4y^{2}=\lambda, pois soma de quadrados não pode ser negativa. Assim a interseção é vazia.

Passo 5

No caso limite \lambda=0, ou seja 12-m=0 (portanto m=12), a equação vira
3x^{2}+4y^{2}=0
que só admite a solução x=0, y=0. Logo a interseção é exatamente o ponto (0,0,1).

Passo 6

Para ter hipérbole precisaríamos um coeficiente positivo e outro negativo em x^{2} e y^{2}. Mas aqui ambos são positivos 3 e 4, independente de m. Logo não existe valor de m que gere hipérbole.

Resposta

(a) Para m<12 (por exemplo m=0) a seção é elipse.
(b) Para m>12 a seção é vazia.
(c) Para m=12 a seção reduz-se a um ponto.
(d) Não existe valor de m que produza hipérbole.

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