Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
(a) T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+2 y,-x+4 y).
(b) T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y).
(c) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z).
(d) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z).

Passo 1

O enunciado pede para cada transformação linear T em R^n encontrar (i) os autovalores, que são as raízes do polinômio característico det(A-lambda I)=0, onde A é a matriz de T na base canônica, e (ii) os autovetores, que são as soluções não-nulas de
(A-lambda I)v=0
Vamos, para cada caso, escrever a matriz A, calcular det(A-lambda I), obter os valores de lambda e depois resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Para T(x,y)=(x+2y,,-x+4y) a matriz é
A=1&2-1&4
O polinômio característico é
detl(A-lambda Ir) =det1-lambda&2-1&4-lambda =(1-lambda)(4-lambda)+2 =lambda^2-5lambda+6,
cuja equação lambda^2-5lambda+6=0 tem raízes lambda=2 e lambda=3.
Para lambda=2,
A-2I=-1&2-1&2, - x +2y=0implies x=2y,
logo um autovetor é ,(2,1).
Para lambda=3,
A-3I=-2&2-1&1, -2x+2y=0implies y=x,
logo um autovetor é ,(1,1).

Passo 3

Para T(x,y)=(2x+2y,;x+3y) a matriz é
A=2&21&3
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =(2-lambda)(3-lambda)-2 =lambda^2-5lambda+4,
cuja equação lambda^2-5lambda+4=0 tem lambda=1 e lambda=4.
Para lambda=1,
A-I=1&21&2, x+2y=0implies x=-2y,
autovetor ,(-2,1).
Para lambda=4,
A-4I=-2&21&-1, -2x+2y=0implies y=x,
autovetor ,(1,1).

Passo 4

Para T(x,y,z)=(x+y+z,;2y+z,;2y+3z) a matriz é
A=1&1&10&2&10&2&3
O determinante de A-lambda I fica
det(A-lambda I) =(1-lambda)det2-lambda&12&3-lambda =(1-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-2r) =(1-lambda)(lambda^2-5lambda+4)
que se fatoriza como (1-lambda)(lambda-1)(lambda-4). Os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=4.
Para lambda=1,
A-I=0&1&10&1&10&2&2 implies y+z=0,;x livre,
logo o espaço próprio é 2-dimensional gerado por (1,0,0) e (0,-1,1).
Para lambda=4,
A-4I=-3&1&10&-2&10&2&-1 implies z=2y,;x=y,
autovetor ,(1,1,2).

Passo 5

Para T(x,y,z)=(x,;-2x-y,;2x+y+2z) a matriz é
A=1&0&0-2&-1&02&1&2
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =(1-lambda)det-1-lambda&01&2-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)(2-lambda),
com raízes lambda=1,,-1,,2.
Para lambda=1,
A-I=0&0&0-2&-2&02&1&1 implies x+y=0,;z=-x,
autovetor ,(1,-1,-1).
Para lambda=-1,
A+I=2&0&0-2&0&02&1&3 implies x=0,;y=-3z,
autovetor ,(0,-3,1).
Para lambda=2,
A-2I=-1&0&0-2&-3&02&1&0 implies x=0,;y=0,
autovetor ,(0,0,1).

Resposta

(a) Autovalores lambda=2,3. Vetores próprios (2,1) e (1,1).
(b) Autovalores lambda=1,4. Vetores próprios (-2,1) e (1,1).
(c) Autovalores lambda=1 (mult. alg. 2), lambda=4. Eigenspace de lambda=1 gerado por (1,0,0), (0,-1,1); vetor próprio de lambda=4 é (1,1,2).
(d) Autovalores lambda=1,-1,2. Vetores próprios (1,-1,-1), (0,-3,1), (0,0,1), respectivamente.

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