Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para cada transformação linear
em
encontrar (i) os autovalores, que são as raízes do polinômio característico
, onde
é a matriz de
na base canônica, e (ii) os autovetores, que são as soluções não-nulas de
Vamos, para cada caso, escrever a matriz
, calcular
, obter os valores de
e depois resolver
.
Passo 2
Para
a matriz é
O polinômio característico é
cuja equação
tem raízes
e
.
Para ,
Para
logo um autovetor é
.
Para ,
Para
logo um autovetor é
.
Passo 3
Para
a matriz é
O polinômio característico é
cuja equação
tem
e
.
Para ,
Para
autovetor
.
Para ,
Para
autovetor
.
Passo 4
Para
a matriz é
O determinante de
A-lambda I fica
que se fatoriza como
(1-lambda)(lambda-1)(lambda-4) . Os autovalores são
lambda=1 (multiplicidade algébrica
2 ) e
lambda=4 .
Paralambda=1 ,
Para
logo o espaço próprio é
2 -dimensional gerado por
(1,0,0) e
(0,-1,1) .
Paralambda=4 ,
Para
autovetor
,(1,1,2) .
Passo 5
Para
T(x,y,z)=(x,;-2x-y,;2x+y+2z) a matriz é
O polinômio característico é
com raízes
lambda=1,,-1,,2 .
Paralambda=1 ,
Para
autovetor
,(1,-1,-1) .
Paralambda=-1 ,
Para
autovetor
,(0,-3,1) .
Paralambda=2 ,
Para
autovetor
,(0,0,1) .
Resposta
(a) Autovalores
lambda=2,3 . Vetores próprios
(2,1) e
(1,1) .
(b) Autovaloreslambda=1,4 . Vetores próprios
(-2,1) e
(1,1) .
(c) Autovaloreslambda=1 (mult. alg.
2 ),
lambda=4 . Eigenspace de
lambda=1 gerado por
(1,0,0) ,
(0,-1,1) ; vetor próprio de
lambda=4 é
(1,1,2) .
(d) Autovaloreslambda=1,-1,2 . Vetores próprios
(1,-1,-1) ,
(0,-3,1) ,
(0,0,1) , respectivamente.
(b) Autovalores
(c) Autovalores
(d) Autovalores