Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(x, y, z)=(x-y, x+2 y-z, y-z).
(a) Encontre [T]C^B, sendo B=(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1) e C=(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1).
(b) Se[T(v)]C=(12-1), encontre v.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (,x - y,;x + 2y - z,;y - z,),
e pede:
  • (a) a matriz [T]C^B que leva coordenadas em B para coordenadas em C, onde B = b1=(1,0,0),;b2=(0,1,1),;b3=(1,0,1), C = c1=(1,0,1),;c2=(0,1,1),;c3=(0,0,1)
  • (b) se [T(v)]C = (1,2,-1), encontrar o vetor v no sistema canônico.
    Para resolver vamos usar o fato de que as colunas de [T]C^B são as coordenadas de T(bj) na base C, e depois resolver o sistema [T]C^B,[v]B = [T(v)]C.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores de B pelo operador T:
T(b1)=T(1,0,0) = (1-0,;1+0-0,;0-0) = (1,1,0),
T(b2)=T(0,1,1) = (0-1,;0+2cdot1-1,;1-1) = (-1,1,0),
T(b3)=T(1,0,1) = (1-0,;1+0-1,;0-1) = (1,0,-1)

Passo 3

Expressar cada T(bj) como combinação linear de c1,c2,c3. Se alpha c1+beta c2+gamma c3 = (x,y,z), então
alpha(1,0,1)+beta(0,1,1)+gamma(0,0,1) = (alpha,beta,alpha+beta+gamma).
Para T(b1)=(1,1,0) temos
alpha=1,;beta=1,;alpha+beta+gamma=0;Rightarrow;gamma=-2,
logo [T(b1)]C = (1,1,-2).
Para T(b2)=(-1,1,0) temos
alpha=-1,;beta=1,;(-1)+1+gamma=0;Rightarrow;gamma=0,
logo [T(b2)]C = (-1,1,0).
Para T(b3)=(1,0,-1) temos
alpha=1,;beta=0,;1+0+gamma=-1;Rightarrow;gamma=-2,
logo [T(b3)]C = (1,0,-2).
Assim a matriz [T]C^B tem essas colunas:
[T]C^B = 1 & -1 & 1 1 & ,1 & 0 -2 & 0 & -2

Passo 4

Para (b), seja
Isto gera o sistema
Da segunda equação . Logo .

Passo 5

Finalmente, voltar ao sistema canônico:
v = tfrac52,b1 ;-;tfrac12,b2 ;-;2,b3 = tfrac52(1,0,0) ;-;tfrac12(0,1,1) ;-;2(1,0,1)
Somando coordenadas,
v = l(tfrac52 - 2,;0 - tfrac12 + 0,;0 - tfrac12 -2r) = l(tfrac12,,-tfrac12,,-tfrac52r)

Resposta

(a) [T]C^B = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 -2 & 0 & -2 , (b) v = l(tfrac12,,-tfrac12,,-tfrac52r)

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