Verifique se a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, y, x-3 y+2 z) é diagonalizável. Caso a resposta seja positiva, indique a matriz diagonal de T e a base em relação a qual T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x,y,x-3y+2z)
é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de operadores lineares.
Precisamos (i) representar T por sua matriz em relação à base canônica, (ii) calcular autovalores e polinômio característico, (iii) determinar autovetores e dimensões dos espaços próprios, e (iv) concluir sobre a diagonalização e dar a base própria e a matriz diagonal.

Passo 2

Em relação à base canônica B=e1,e2,e3, temos
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,1), T(e2)=T(0,1,0)=(0,1,-3), T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,2)
Logo a matriz de T é
A= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & -3 & 2

Passo 3

O polinômio característico é
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det 1-lambda & 0 & 0 0 & 1-lambda & 0 1 & -3 & 2-lambda =(1-lambda)^2(2-lambda)
Os autovalores são
lambda1=1 com multiplicidade algébrica 2 e lambda2=2 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Autovalor lambda=1:
A-I= 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & -3 & 1 ,
a condição (A-I)v=0 x-3y+z=0, espaço próprio de dimensão 2. Dois vetores independentes são
v1=(3,1,0), v2=(-1,0,1)
Autovalor lambda=2:
A-2I= -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 1 & -3 & 0 ,
as equações dão x=0, y=0 e z livre, espaço próprio de dimensão 1. Um gerador é
v3=(0,0,1)

Passo 5

Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, igual à dimensão de R^3, T é diagonalizável.
A base de autovetores é
B'=v1,v2,v3.
Em B', a matriz de T é diagonal com entradas iguais aos autovalores na ordem dos vetores:
D= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2

Resposta

A transformação T é diagonalizável.
A matriz diagonal é
D= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 ,
e uma base de R^3 que a diagonaliza é
(3,1,0),;(-1,0,1),;(0,0,1)

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