Verifique se a transformação linear dada por é diagonalizável. Caso a resposta seja positiva, indique a matriz diagonal de e a base em relação a qual é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear
é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de operadores lineares.
Precisamos (i) representar por sua matriz em relação à base canônica, (ii) calcular autovalores e polinômio característico, (iii) determinar autovetores e dimensões dos espaços próprios, e (iv) concluir sobre a diagonalização e dar a base própria e a matriz diagonal.
Os autovalores são lambda1=1 com multiplicidade algébrica 2 e lambda2=2 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 4
Autovalor lambda=1:
A-I= 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & -3 & 1 ,
a condição (A-I)v=0 dá x-3y+z=0, espaço próprio de dimensão 2. Dois vetores independentes são
v1=(3,1,0), v2=(-1,0,1)
Autovalor lambda=2:
A-2I= -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 1 & -3 & 0 ,
as equações dão x=0, y=0 e z livre, espaço próprio de dimensão 1. Um gerador é
v3=(0,0,1)
Passo 5
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, igual à dimensão de R^3, T é diagonalizável.
A base de autovetores é B'=v1,v2,v3.
Em B', a matriz de T é diagonal com entradas iguais aos autovalores na ordem dos vetores:
D= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2
Resposta
A transformação T é diagonalizável.
A matriz diagonal é