Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero.
(b) Se
é uma transformação linear e
, então
não pode ser sobrejetora.
(c) Seja
uma transformação linear.
, então uma condição suficiente para que
seja diagonalizável é que
tenha
autovalores distintos.
(a) Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero.
(b) Se
(c) Seja
Passo 1
O enunciado pede para checar três propriedades de transformações lineares, usando principalmente o Teorema do Posto-Nulidade para as duas primeiras e a teoria de autovalores/autovetores na terceira. Vamos precisar das seguintes ideias:
- Teorema do Posto-Nulidade: para
linear,
- Definição de sobrejetora:
. - Para diagonalização de
em um espaço de dimensão , uma condição suficiente é ter autovalores distintos, pois cada um gera um autovetor independente.
Passo 2
Afirmação (a): “Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero.”
Se é sobrejetora então
. Pelo teorema do posto-nulidade,
Se
logo
Isso só dá zero quando
. Mas nada no enunciado exige
. Por exemplo,
definido por
é sobrejetor e
.
Portanto, (a) é falsa.
Portanto, (a) é falsa.
Passo 3
Afirmação (b): “Se
é linear e
, então
não pode ser sobrejetora.”
Como , temos
Como
Logo
, ou seja,
não atinge todo
.
Portanto, (b) é verdadeira.
Portanto, (b) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “Seja
linear com
. Uma condição suficiente para
ser diagonalizável é que
tenha
autovalores distintos.”
Quando há autovalores distintos (todos no corpo base), cada autovalor gera pelo menos um autovetor, e autovetores associados a valores próprios diferentes são linearmente independentes. Com isso obtemos
autovetores independentes, formando uma base que diagonaliza
.
Portanto, (c) é verdadeira.
Quando há
Portanto, (c) é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira