Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero.
(b) Se T: V W é uma transformação linear e dim(V)<dim(W), então T não pode ser sobrejetora.
(c) Seja T: V V uma transformação linear. Se dim(V)=n, então uma condição suficiente para que T seja diagonalizável é que T tenha n autovalores distintos.

Passo 1

O enunciado pede para checar três propriedades de transformações lineares, usando principalmente o Teorema do Posto-Nulidade para as duas primeiras e a teoria de autovalores/autovetores na terceira. Vamos precisar das seguintes ideias:
  1. Teorema do Posto-Nulidade: para T:Vto W linear,
dim(V)=rank(T)+nullity(T)
  1. Definição de sobrejetora: rank(T)=dim(W).
  2. Para diagonalização de T em um espaço de dimensão n, uma condição suficiente é ter n autovalores distintos, pois cada um gera um autovetor independente.

Passo 2

Afirmação (a): “Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero.”
Se T é sobrejetora então rank(T)=dim(W). Pelo teorema do posto-nulidade,
dim(V)=dim(W)+nullity(T),
logo
nullity(T)=dim(V)-dim(W)
Isso só dá zero quando dim(V)=dim(W). Mas nada no enunciado exige dim(V)=dim(W). Por exemplo, T: R^2to R definido por T(x,y)=x é sobrejetor e nullity(T)=1neq0.
Portanto, (a) é falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “Se T:Vto W é linear e dim(V)<dim(W), então T não pode ser sobrejetora.”
Como rank(T)<=dim(V), temos
rank(T)<=dim(V)<dim(W)
Logo rank(T)neqdim(W), ou seja, T não atinge todo W.
Portanto, (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Seja T:Vto V linear com dim(V)=n. Uma condição suficiente para T ser diagonalizável é que T tenha n autovalores distintos.”
Quando há n autovalores distintos (todos no corpo base), cada autovalor gera pelo menos um autovetor, e autovetores associados a valores próprios diferentes são linearmente independentes. Com isso obtemos n autovetores independentes, formando uma base que diagonaliza T.
Portanto, (c) é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira

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