Sejam T1: R^2 R^2 e T2: R^2 R^3 dadas por T1(x, y)=(3 x-y,-3 x+y) e T2(x, y)=(x+y, x, 2 y).
(a) Calcule T2 circ T1: R^2 R^3.
(b) Mostre que T2 circ T1 é uma transformação linear.
(c) Calcule [T1]B,[T2]B^C e [T2 circ T1]B^C, onde B e C são as bases canônicas do R^2 e R^3, respectivamente.
(d) Compare as matrizes [T2]B^C cdot[T1]B^C e [T2 circ T1]B^C. O que você observa?

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares
com
e
com
Pede‐se
(a) calcular a composição ,
(b) mostrar que é linear,
(c) obter as matrizes , e nas bases canônicas de e de , e
(d) comparar com .

Passo 2

Para (a), chamemos
(u,v)=T1(x,y)=(3x-y,,-3x+y)
Então
T2l(u,vr) = l(u+v,;u,;2vr) = l((3x-y)+(-3x+y),;3x-y,;2(-3x+y)r)
Simplificando,
T2circ T1(x,y) = (,0,;3x - y,;-6x +2y,)

Passo 3

Para (b), basta notar que T1 e T2 são lineares (ver definição de transformação linear) e que a composição de duas aplicações lineares é linear. Em detalhe, para quaisquer (x1,y1),(x2,y2) e escalar lambda:
T2circ T1l((x1,y1)+(x2,y2)r) = T2l(T1(x1+x2,y1+y2)r) = T2l(T1(x1,y1)+T1(x2,y2)r)
= T2l(T1(x1,y1)r)+T2l(T1(x2,y2)r),
e similarmente para homogeneidade. Logo T2circ T1 é linear.

Passo 4

Para (c), montamos as matrizes nas bases canônicas.
– Em R^2, a base B=e1=(1,0),e2=(0,1).
T 1( e1) =T 1( 1,0) =( 3, -3), T 1( e2) =T 1( 0,1) =( -1,1).
Logo
[T1]B = 3 & -1 -3 & 1
– Em R^2toR^3, para T2, ainda com base B no domínio e C no contradomínio,
T 2( e1) =( 1,1, 0), T 2( e2) =( 1,0, 2).
Então
[T2]B^C = 1 & 1 1 & 0 0 & 2
– Para T2circ T1, calculamos as colunas como imagens de e1,e2:
T2circ T1(1,0)=(0,3,-6), T2circ T1(0,1)=(0,-1,2)
Assim
[T2circ T1]B^C = 0 & 0 3 & -1 -6 & 2

Passo 5

Para (d), multiplicamos
[T2]B^C,[T1]B = 1 & 1 1 & 0 0 & 2 3 & -1 -3 & 1 = 0 & 0 3 & -1 -6 & 2
Isso coincide exatamente com [T2circ T1]B^C. Concluímos que a matriz da composição é o produto das matrizes.

Resposta

(a) ;T2circ T1(x,y) = (0,;3x - y,;-6x +2y)\n
(b) É linear, pois é composição de duas aplicações lineares.\n
(c)
[T1]B=3 & -1-3 & 1, [T2]B^C=1 & 11 & 00 & 2, [T2circ T1]B^C=0 & 03 & -1-6 & 2\n
(d) Observa‐se
,[T2]B^C,[T1]B=[T2circ T1]B^C,
ou seja, a matriz da composição é o produto das matrizes das transformações.

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