Sejam e dadas por e .
(a) Calcule .
(b) Mostre que é uma transformação linear.
(c) Calcule e , onde e são as bases canônicas do e , respectivamente.
(d) Compare as matrizes e . O que você observa?
Passo 1
O enunciado define duas transformações lineares com
e com
Pede‐se
(a) calcular a composição ,
(b) mostrar que é linear,
(c) obter as matrizes , e nas bases canônicas de e de , e
(d) comparar com .
Passo 2
Para (a), chamemos
Então
Simplificando,
Passo 3
Para (b), basta notar que e são lineares (ver definição de transformação linear) e que a composição de duas aplicações lineares é linear. Em detalhe, para quaisquer e escalar :
e similarmente para homogeneidade. Logo é linear.
Passo 4
Para (c), montamos as matrizes nas bases canônicas.
– Em , a base .
T()T()(,), T()T()().
Logo
– Em R^2toR^3, para T2, ainda com base B no domínio e C no contradomínio,
T2(e1)=(1,1,0), T2(e2)=(1,0,2).
Então
[T2]B^C = 1 & 1 1 & 0 0 & 2
– Para T2circ T1, calculamos as colunas como imagens de e1,e2:
Isso coincide exatamente com [T2circ T1]B^C. Concluímos que a matriz da composição é o produto das matrizes.
Resposta
(a) ;T2circ T1(x,y) = (0,;3x - y,;-6x +2y)\n
(b) É linear, pois é composição de duas aplicações lineares.\n
(c) [T1]B=3 & -1-3 & 1, [T2]B^C=1 & 11 & 00 & 2, [T2circ T1]B^C=0 & 03 & -1-6 & 2\n
(d) Observa‐se ,[T2]B^C,[T1]B=[T2circ T1]B^C,
ou seja, a matriz da composição é o produto das matrizes das transformações.