Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
T: R^2 R^2, dado por T(x, y)=(x+2 y,-x+4 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (x + 2y, -x + 4y) . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar autovalores e depois os autovetores correspondentes usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Para isso, observamos como T age sobre os vetores (x, y) :
T(x, y) = x + 2y -x + 4y
Isso corresponde à multiplicação por uma matriz A :
A = 1 & 2 -1 & 4
Então, temos que A = 1 & 2 -1 & 4 .

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de A , precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Calculando A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 2 -1 & 4 - lambda

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (2)(-1) = (1 - lambda)(4 - lambda) + 2
Agora, expandindo:
(1 - lambda)(4 - lambda) = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 5lambda + 4 + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Podemos fatorar essa equação:
(lambda - 2)(lambda - 3) = 0
Então, os autovalores são:
lambda1 = 2 e lambda2 = 3

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda .
Começando com lambda1 = 2 :
Resolvemos (A - 2I)v = 0 :
A - 2I = 1 - 2 & 2 -1 & 4 - 2 = -1 & 2 -1 & 2

Passo 7

Agora, temos o sistema de equações:
-1 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 -1 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0
Essas duas equações são iguais, então basta resolver uma delas:
- v1 + 2 v2 = 0 Rightarrow v1 = 2 v2
Podemos escolher v2 = 1 , assim:
v1 = 2 cdot 1 = 2
Então, um autovetor para lambda1 = 2 é:
v1 = 2 1

Passo 8

Agora, vamos encontrar o autovetor para lambda2 = 3 :
Resolvemos (A - 3I)v = 0 :
A - 3I = 1 - 3 & 2 -1 & 4 - 3 = -2 & 2 -1 & 1

Passo 9

O sistema de equações fica:
-2 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 -1 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0
Novamente, as equações são equivalentes, então vamos resolver uma delas:
-2 v1 + 2 v2 = 0 Rightarrow -v1 + v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Podemos escolher v2 = 1 , então:
v1 = 1
Portanto, um autovetor para lambda2 = 3 é:
v2 = 1 1

Resposta

Os autovalores da transformação T são lambda1 = 2 com autovetor 2 1 e lambda2 = 3 com autovetor 1 1 .

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